14 câu Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^2-{\left(1\right)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2+\Delta x\right)=2.$

Vậy hệ số góc là $k=y^{\text{'}}\left(1\right)=2$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3$  và đường thẳng $y=3x-2$  là

$x^3-3x+2=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$.

Tại $x=1$  ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^3-{\left(1\right)}^3}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2+3\Delta x+3\right)=3.$

Hệ số góc $k_1=y^{\text{'}}\left(1\right)=3.$

Tại $x=-2$  ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(-2+\Delta x\right)}^3-{\left(-2\right)}^3}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2-6\Delta x+12\right)=12.$

Hệ số góc $k_2=y^{\text{'}}\left(-2\right)=12.$

Ta có: $y=27\Rightarrow x=-3$  .

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-{\left(-3+\Delta x\right)}^3+27}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-{\left(\Delta x\right)}^2+9\Delta x-27\right)=-27$

$\Rightarrow k=y^{\text{'}}\left(-3\right)=-27$

Phương trình tiếp tuyến $y-27=-27\left(x+3\right)\iff y=-27x-54.$

Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$  là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x_0+\Delta x-1\right)\left(x_0-1\right)}=\frac{-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}$       

 $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=k=-\frac{1}{9}\iff -\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-\frac{1}{9}\iff {\left(x_0-1\right)}^2=9\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=4\\ x_0=-2\end{array}\right..$      

            + Với $x_0=4$  ta có $y_0=\frac{4}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $\left(4;\frac{4}{3}\right)$  là

                                       $y=-\frac{1}{9}\left(x-4\right)+\frac{4}{3}\iff y=-\frac{1}{9}x+\frac{16}{9}.$                    

            + Với $x_0=-2$  ta có $y_0=\frac{2}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $\left(-2;\frac{2}{3}\right)$  là

$y=-\frac{1}{9}\left(x+2\right)+\frac{2}{3}\iff y=-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}.$

Đường thẳng  $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left(G\right):y=f\left(x\right)$  tại điểm $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  khi và chỉ khi đồng thời xảy ra

·   (d)  và  (G) cùng đi qua điểm $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  tức là

·         Hệ số góc (d) của f  bằng đạo hàm của  tại a=f(x)  , tức là

            Từ đó suy ra điều cần chứng minh.