Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{1,2}}{x} = \frac{5}{2}\) nên \(x = \frac{{2.1,2}}{5} = 0,48\). Vậy \(x = 0,48\).

b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2}\) và \(x + y = 10\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Suy ra \(x = 3.2 = 6;{\rm{ }}y = 2.2 = 4\).

Vậy \(x = 6;y = 4.\)

c) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}\) và \(y + z = 80\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{y + z}}{{4 + 6}} = \frac{{80}}{{10}} = 8\).

Suy ra \(x = 3.8 = 24;{\rm{ }}y = 4.8 = 32;{\rm{ }}z = 6.8 = 48\).

Vậy \(x = 24;{\rm{ }}y = 32;{\rm{ }}z = 48.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(x,y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và từ bảng trên nhận thấy khi \(x = 5\) thì \(y = 8\).

Do đó, hệ số tỉ lệ của hai đại lượng trên là: \(a = x.y = 5.8 = 40\).

b) Với hệ số tỉ lệ \(a = 40\) ta được bảng sau:

Hướng dẫn giải

3.1. Ta có số vòi nước và thời gian chảy đầy bể là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi số vòi nước cùng kích thước để sau 5 giờ thì đầy bể là \(x\) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Theo đề, ta có: \(5x = 10.6\) hay \(5x = 60\), suy ra \(x = 12\) (thỏa mãn)

Vậy cần 12 vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì nước đầy bể.

3.2.Gọi số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là \(a,b,c\) cây \(\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với \(6;4;5\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}\).

Tổng số cây lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là \(15\) cây.

Do đó, ta có: \(b + c - a = 15\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{b + c - a}}{{4 + 5 - 6}} = \frac{{15}}{3} = 5\).

Ta có: \(a = 6.5 = 30\) (thỏa mãn), \(b = 5.4 = 20\) (thỏa mãn), \(c = 5.5 = 25\) (thỏa mãn)

Vậy số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là \(30\) cây, \(20\) cây, \(25\) cây.

Hướng dẫn giải

4.1.Áp dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có:

\(AH + HB > AB\) hay \(HB > AB - AH\) hay \(HB > 4,5 - 4\), suy ra \(HB > 0,5\).

Do đó, khoảng cách từ chân thang đến chân tường lớn hơn \(0,5{\rm{ m}}\).

Do đó, khẳng định của bạn Huệ là sai.

4.2. a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\), có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBH}\)

(\(BD\) là phân giác của \(\widehat B\))

\(BD\) chung (gt)

\(\widehat {DAB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (ch – gn)

Do đó, \(AB = BH\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra \(\Delta ABH\) cân tại \(B\) có \(BD\) là tia phân giác \(\widehat B\).

Suy ra \(BD\) cũng là đường trung trực của \(AH\). Do đó, \(BD \bot AH.\)

b) Do \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cmt) nên \[DA = DH\] (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác \[DAH\] vuông tại \[H\] nên có \[DA\] là cạnh huyền.

Do đó, \[DA > DH\].

Từ đó, suy ra \(DC > AD.\)

c) Chứng minh được \(\Delta ADI = \Delta HDC\) (cgv – gn)

Suy ra \(IA = CH\) (hai cạnh tương ứng)

Mà có \(AB = BH\), suy ra \(AB + AI = BH + HC\) hay \(BI = BC\).

Xét \(\Delta BIM\) và \(\Delta BCM\), có:

\(MI = MC\) (gt)

\(BM\) chung (gt)

\(BI = BC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta BIM = \Delta BCM\) (c.c.c)

Do đó, \(\widehat {IBM} = \widehat {CBM}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(BM\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Mà \(BD\) cũng là phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Suy ra \(B,D,M\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi hai số cần tìm là \(x,y\) với \(x,y \ne 0\).

Theo đề, ta có tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với \(4:1:45\) nên ta có:

\(\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}}\).

Từ đây, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{{x + y}}{4} = \frac{{x - y}}{1} = \frac{{xy}}{{45}} = \frac{{x + y + x - y}}{{4 + 1}} = \frac{{x + y - x + y}}{{4 - 1}}\) hay \(\frac{{2x}}{5} = \frac{{2y}}{3} = \frac{{xy}}{{45}}\) hay \(18x = 30y = xy\).

Ta có: \(30y = xy\) hay \(30y - xy = 0\) nên \(y\left( {30 - x} \right) = 0\).

Vì \(x,y \ne 0\) nên \(30 - x = 0\) hay \(x = 30\), suy ra \(y = 18\).

Vậy hai số cần tìm là \(30\) và \(18\).