Bài tập Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp lớp 9 (có lời giải)

\[\begin{array}{l}a = R\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\\S = {a^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\]

Từ tâm \[P\] và \[Q\] vẽ \[PQ\] và \[CQ\] vuông góc với cạnh \[AD\] của tam giác

Các tam giác \[APB\] và \[DQC\] là nửa tam giác đều với \[PB = QC = 3\]

\[ \Rightarrow AB = CD = 3\sqrt 3 ;BC = PQ = 6 \Rightarrow AD = 6 + 6\sqrt 3 \]

Vậy chu vi tam giác là: \[18 + 18\sqrt 3 \]

Gọi \[D,E,F\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( I \right)\] với \[AB\]

\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], theo định lý Pytago ta có: \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}}  = 15\left( {cm} \right)\]

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AD = AF;BD = BE;CE = CF\]

Do đó \[2AD + 2BE + 2CE = AB + BC + CA = 9 + 12 + 15 = 36\]

\[ \Leftrightarrow 2AD + 2BC = 36 \Leftrightarrow AD = 3\left( {cm} \right) \Rightarrow BD = 6\left( {cm} \right);DI = 3\left( {cm} \right)\]

Gọi \[N = BI \cap AC\], ta có: \[\frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{{BG}}{{BM}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IG//NM\\IG = \frac{2}{3}NM\end{array} \right.\]

Ta có \[\diamondsuit IDAF\] là hình vuông, có: \[\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DI}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AN = 4,5\left( {cm} \right)\]

Mà \[M\] là trung điểm của \[AC\] nên: \[NM = AM - AN = 6 - 4,5 = 1,5\left( {cm} \right) \Rightarrow IG = 1\left( {cm} \right)\]

Ta có \(AI = \frac{{2AO}}{3} = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow OI = R - \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{3}\)

\(\Delta OCI\) vuông tại \(O\), ta có:

\(CI = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{R}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}\)

\(\Delta CED\) nội tiếp đường tròn \(O\) có cạnh \(CD\) là đường kính \( \Rightarrow \Delta CED\) vuông tại \(E\)

Hai tam giác vuông \(OCI\) và \(CED\) có \(\widehat C:chung\)

\( \Rightarrow \Delta COI \sim \Delta CED \Rightarrow \frac{{CO}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow CE = \frac{{CO.CD}}{{CI}}\)

\( = \frac{{R.2R}}{{R\frac{{\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{6R}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}\)

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC .

Ta có AO là trung tuyến của tam giác vuông \({\rm{OA}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}}\).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn tâm O là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC vuông tại A (gt).

Theo định lí Pythagore, ta có: \({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {3^2} + {4^2}\)\( \Rightarrow {\rm{BC }} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} \)\( = \sqrt {25}  = 5(\;{\rm{cm}})\)

Vậy bán kính của đường tròn là \(5:2 = 2,5(\;{\rm{cm}})\).