Giải SGK Toán 12 CD Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes có đáp án

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Xét hai biến cố sau:

A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”;

B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”.

Khi đó, ta có:

P(B) = 0,55; P() = 1 – P(B) = 1 – 0,55 = 0,45;

P(A | B) = 0,9; P(A | ) = 0,87.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ) = 0,55 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,87 = 0,8865.

Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.

Ω = {1; 2; 3; …; 24}.

A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}.

B = {4; 8; 12; 16; 20; 24}.

A ∩ B = {12; 24}.

= {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19; 21; 22; 23}.

A ∩ = {3; 6; 9; 15; 18; 21}.

Từ câu a), suy ra n(A) = 8, n(A ∩ B) = 2, n(A ∩ ) = 6.

Do 8 = 2 + 6 nên n(A) = n(A ∩ B) + n().

Khi đó, P(A) = = = + .

Mà P(A ∩ B) = ; P() = .

Vậy P(A) = P(A ∩ B) + P().

Ta có P(B) ∙ P(A | B) = P(B) ∙ = P(A ∩ B).

P() ∙ P(A | ) = P() ∙ = P().

Vì hai biến cố A ∩ B và là hai biến cố xung khắc và (A ∩ B) ∪ () = A nên theo công thức xác suất ta có

P(A) = P(A ∩ B) + P() = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ).

Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra là: 55% ∙ 10 000 = 5 500 (linh kiện).

Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra là: 45% ∙ 10 000 = 4 500 (linh kiện).

Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: 90% ∙ 5 500 = 4 950 (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: 5 500 – 4 950 = 550 (linh kiện).

Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: 87% ∙ 4 500 = 3 915 (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: 4 500 – 3 915 = 585 (linh kiện).

Từ đó ta có bảng thống kê như sau (đơn vị: linh kiện)

Xét hai biến cố sau:

A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”;

B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”.

Khi đó, ta có:

P(B) = 0,55; P() = 1 – P(B) = 1 – 0,55 = 0,45; P(A | B) = 0,9; P(A | ) = 0,87.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P() ∙ P(A | ) = 0,55 ∙ 0,9 + 0,45 ∙ 0,87 = 0,8865.

Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.