Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Dịch Vọng (Hà Nội) có đáp án

a) \(2{x^2} + 3x - 1 = 0\) \(\left( 1 \right)\)

Phương trình \(2{x^2} + 3x - 1 = 0\) có các hệ số \(a = 2;b = 3;c = - 1\).

Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.\left( { - 1} \right) = 17 > 0\).

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{{2.2}} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}\); \({x_2} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{{2.2}} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(\left\{ {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4};\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}} \right\}\).

b) \({x^2} - \sqrt 5 x + \sqrt 5 - 1 = 0\) \(\left( 2 \right)\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có các hệ số \(a = 1;b = - \sqrt 5 ;c = \sqrt 5 - 1\)

Ta có: \(\Delta = {\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} - 4.1.\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 5 - 4\sqrt 5 + 4 = 9 - 4\sqrt 5 > 0\)

Khi đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right) - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{{2.1}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right) + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{{2.1}} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 5 - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2};\frac{{\sqrt 5 + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}} \right\}\).

Thay \(x = - 4\) vào phương trình \({x^2} - 2x + m + 1 = 0\) ta được:

\({\left( { - 4} \right)^2} - 2.\left( { - 4} \right) + m + 1 = 0\)

\(16 + 8 + m + 1 = 0\)

\(m + 25 = 0\)

\(m = - 25\)

Với \(m = - 25\) ta có phương trình \({x^2} - 2x - 24 = 0\) \(\left( 3 \right)\)

\({x^2} - 6x + 4x - 24 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 6x} \right) + \left( {4x - 24} \right) = 0\)

\(x\left( {x - 6} \right) + 4\left( {x - 6} \right) = 0\)

\(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 6;{x_2} = - 4\)

Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là: \({6^3} + {\left( { - 4} \right)^3} = 152\).

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(x\), \(y\) (m) (\(x > y > 0\)).

Vì mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng \(28\) m nên ta có phương trình

\(2x + 2y = 28\) hay \(x + y = 14\). Suy ra \(y = 14 - x\).

Đường chéo của hình chữ nhật bằng\(10\) (m) nên theo định lý Pythagore ta có phương trình

\({x^2} + {y^2} = {10^2}\)

\({x^2} + {\left( {14 - x} \right)^2} = 100\)

\(2{x^2} - 28x + 96 = 0\)

\(x = 6\) hoặc \(x = 8\)

Với \(x = 6\) suy ra \(y = 8\) (loại).

Với \(x = 8\) suy ra \(y = 6\) (thỏa mãn).

Do đó chiều dài mảnh đất bằng \(8\) m và chiều rộng bằng \(6\)m.

Vậy diện tích mảnh đất là \(8.6 = 48\) m².

Gọi vận tốc xe thứ nhất là \(x\) (km/h) (\(x > 10\)).

Suy ra vận tốc xe thứ hai là \(x - 10\) (km/h).

Thời gian xe thứ nhất đi hết quảng đường \(AB\) là \(\frac{{150}}{x}\) (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi hết quảng đường \(AB\) là \(\frac{{150}}{{x - 10}}\) (giờ)

Ô tô thứ nhất đến \(B\) trước 30 phút \( = \frac{1}{2}\) (giờ) nên ta có phương trình

\(\frac{{150}}{{x - 10}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{150x - 150\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)x}} = \frac{1}{2}\)

\(3000 = {x^2} - 10x\)

\({x^2} - 10x - 3000 = 0\)

\(x = 60\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 50\) (không thỏa mãn).

Vậy vận tốc xe thứ nhất là \(60\)(km/h) và vận tốc xe thứ hai là \(60 - 10 = 50\) (km/h).

a) Khi vận tốc gió là \(2\)m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng \(120\) N nên ta có phương trình \(a{.2^2} = 120\), suy ra \(a = \frac{{120}}{4} = 30\) (m/s²).

b) Cánh buồm của thuyền chỉ chịu được tác động tối đa là \(12000\) N nên ta có

\(F \le 12000\)

\(30{v^2} \le 12000\)

\({v^2} \le 400\)

\(v \le 20\)

Do đó con thuyền không thể ra khơi khi vận tốc của gió là \(25\)m/s.

Bài III. (0,5 điểm) Mái che của ngôi nhà có dạng hình quạt tròn, có bán kính bằng \(4,5\) m và góc ở tâm bằng \(70^\circ \). Tính diện tích mái che (làm tròn kết quả với độ chính xác \(0,05\)).

Diện tích mái che là \(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi .4,{5^2}.70}}{{360}} \approx 12,4\) (m²).