Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Phan Chu Trinh (Hà Nội) có đáp án

Quan sát bảng thống kê, ta có:

Tần số bạn Nam sử dụng Internet:

⦁ Từ \(0\) đến dưới \(1\) giờ là \(3\) ngày;

⦁ Từ \(1\) đến dưới \(2\) giờ là \(6\)ngày;

⦁ Từ \(2\) đến dưới \(3\) giờ là \(9\) ngày;

⦁ Từ \(3\) đến dưới \(4\) giờ là \(8\) ngày;

⦁ Từ \(4\) đến dưới \(5\) giờ là \(4\) ngày.

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Tần số tương đối bạn Nam sử dụng Internet:

⦁ Từ \(0\) đến dưới \(1\) giờ là: \(\frac{3}{{30}}.100\% = 10\% \);

⦁ Từ \(1\) đến dưới \(2\) giờ là: \(\frac{6}{{30}}.100\% = 20\% \);

⦁ Từ \(2\) đến dưới \(3\) giờ là: \(\frac{9}{{30}}.100\% = 30\% \);

⦁ Từ \(3\) đến dưới \(4\) giờ là: \(\frac{8}{{30}}.100\% \approx 26,7\% \);

⦁ Từ \(4\) đến dưới \(5\) giờ là: \(\frac{4}{{30}}.100\% \approx 13,3\% \).

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 50\).

Gọi biến cố \(A\): “Rút được phiếu ghi số là bội của \(5\)”

Có \(10\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(5;\,\,10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,30;\,\,35;\,\,40;\,\,45;\,\,50\).

Suy ra \(n\left( A \right) = 10\).

Xác suất rút được phiếu trúng thưởng là: \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{50}} = \frac{1}{5}\).

Vậy xác suất rút được phiếu trúng thưởng bằng \(\frac{1}{5}\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 49\).

Thế \(x = 49\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta có:

\[A = \frac{{\sqrt {49} + 7}}{{\sqrt {49} - 2}} = \frac{{7 + 7}}{{7 - 2}} = \frac{{14}}{5}\].

Vậy \[A = \frac{{14}}{5}\] khi \(x = 49\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\).

Ta có: \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{2}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\).

\( = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{\sqrt x - 2 - 2\sqrt x - 4 + x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\) (điều phải chứng minh).

3) Tìm \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên.

Ta có \(P = AB = \frac{{\sqrt x + 7}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\).

\( = \frac{{\sqrt x + 7}}{{\sqrt x + 2}}\).

\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

\( = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

Biểu thức \(P\) đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) là số nguyên.

Với \(x \ge 0;x \ne 4\), ta có: \[\sqrt x \ge 0\].

Suy ra \[\sqrt x + 2 \ge 2\].

Khi đó \(\frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2}\).

Vì vậy \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}\).

Suy ra \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\) (1)

Vì \(5 > 0\) và \[\sqrt x + 2 \ge 2 > 0\] nên \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\).

Suy ra \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 1\) (2)

Từ (1), (2), ta thu được: \(1 < P \le \frac{7}{2}\)

Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {2\,;\,3} \right\}\).

Với \(P = 2\), ta có: \(1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2\).

Suy ra \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1\).

Do đó \(\sqrt x + 2 = 5\).

Vì vậy \(\sqrt x = 3\).

Suy ra \(x = 9\).

Với \(P = 3\), ta có: \(1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 3\)\( \Rightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Suy ra \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2\).

Do đó \(2\sqrt x + 4 = 5\).

Vì vậy \(2\sqrt x = 1\).

Suy ra \(\sqrt x = \frac{1}{2}\).

Khi đó \(x = \frac{1}{4}\).

So với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4\), ta nhận \(x = 9;\,\,x = \frac{1}{4}\).

Vậy \(x = 9;\,\,x = \frac{1}{4}\) thì biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên.

Gọi số đèn lồng mỗi ngày cơ sở đó sản xuất theo dự kiến là \(x\) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

Thời gian hoàn thành theo dự kiến là: \(\frac{{300}}{x}\) (ngày).

Số đèn lồng mỗi ngày cơ sở đó sản xuất thực tế là: \(x + 5\) (chiếc).

Thời gian hoàn thành thực tế là: \(\frac{{300}}{{x + 5}}\) (ngày).

Vì 3 ngày trước khi hết thời hạn, cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc đèn lồng nên ta có phương trình: \(\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 5}} = 3\).

Suy ra \(\frac{{300\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{300x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{3x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\).

Do đó \(300\left( {x + 5} \right) - 300x = 3x\left( {x + 5} \right)\).

Vì vậy \(300x + 1500 - 300x = 3{x^2} + 15x\).

Suy ra \(3{x^2} + 15x - 1500 = 0\).

Khi đó \({x^2} + 5x - 500 = 0\).

Vì vậy \({x^2} + 25x - 20x - 500 = 0\).

Suy ra \(x\left( {x + 25} \right) - 20\left( {x + 25} \right) = 0\).

Do đó \(\left( {x - 20} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\).

Vì vậy \(x - 20 = 0\) hoặc \(x + 25 = 0\).

Suy ra \(x = 20\) hoặc \(x = - 25\).

So với điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^ * }\), ta nhận \(x = 20\).

Vậy số đèn lồng mỗi ngày cơ sở đó sản xuất theo dự kiến là 20 chiếc.

Giải phương trình \(2{x^2} - 6x - 11 = 0\).

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.2.\left( { - 11} \right) = 36 + 88 = 124 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) + \sqrt {124} }}{{2.2}} = \frac{{6 + 2\sqrt {31} }}{4} = \frac{{3 + \sqrt {31} }}{2}\);

\({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) - \sqrt {124} }}{{2.2}} = \frac{{6 - 2\sqrt {31} }}{4} = \frac{{3 - \sqrt {31} }}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{3 + \sqrt {31} }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {31} }}{2}\).

Áp dụng định lý Viète, ta có: \(S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - \left( { - 5} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\).

\(P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{3}\).

Ta có: \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - 3x_1^2x_2^2\).

\( = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 3x_1^2x_2^2\).

\( = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 4{x_1}{x_2} - 3x_1^2x_2^2\).

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 3{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\).

\( = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} - 4.\frac{1}{3} - 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\).

\( = \frac{{25}}{9} - \frac{4}{3} - 3.\frac{1}{{{3^2}}}\).

\( = \frac{{25}}{9} - \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\).

\( = \frac{{10}}{9}\).

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) bằng \(\frac{{10}}{9}\).