Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Ban Mai School (Hà Nội) có đáp án

a) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn) tính được \(P = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy khi \(x = 4\) thì \(P = \frac{{ - 1}}{2}\).

b) Với \(x > 0,x \ne 9\), ta có:

\[\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2x - 13\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\\Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2x - 13\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{x + 4\sqrt x + 3 + 2x - 13\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\]

Vậy \(Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 4\) ta có:

\(A = P \cdot Q = \frac{{\sqrt x - 5}}{{3\sqrt x }} \cdot \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\)

Theo bài, \(A < \frac{1}{2}\) nên

\(\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{2} < 0\)

\(\frac{{2\sqrt x - 10 - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}} < 0\)

\(\frac{{\sqrt x - 13}}{{\sqrt x + 3}} < 0\)

Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 > 0\), do đó để \(\frac{{\sqrt x - 13}}{{\sqrt x + 3}} < 0\) thì \(\sqrt x - 13 < 0\) hay \(\sqrt x < 13\), tức là \(x < 169\).

Do \(x\) là số nguyên lớn nhất nên \(x = 168\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 168\).

a) Vì đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) đi qua điểm\(A\left( { - 1;\,1} \right)\), thay \(x = - 1;y = 1\) và hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), ta có:

\(1 = a.{\left( { - 1} \right)^2}\) suy ra \(a = 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = 1\).

b) Thay \(a = 1\)vào \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), ta được \(y = {x^2}\).

Lấy điểm

Đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là đường parabol đi qua 5 điểm trên.

c) Hoành độ giao điểm và thỏa mãn:

\({x^2} = 4x - 3\)

\({x^2} - 4x + 3 = 0\)

Phương trình trên có \(a + b + c = 0\) nên \(x = 1\); \(x = 3\).

Với \(x = 1\) ta có \(y = 1\);

Với \(x = 3\) ta có \(y = 9\).

Tọa điểm hai giao điểm của và là (3; 9); (1; 1).

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\)(km/h, \(x > 12\) ). Thì vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 12\) (km/h).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ nhất là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ hai là \(\frac{{270}}{{x - 12}}\) (giờ).

Vì Ôtô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ 2 là \(45\)phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Ta có phương trình:

\(\frac{{270}}{{x - 12}} - \frac{{270}}{x} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{{90}}{{x - 12}} - \frac{{90}}{x} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{1080}}{{{x^2} - 12x}} = \frac{1}{4}\)

\({x^2} - 12x - 4320 = 0\)

\(\left( {x + 60} \right)\left( {x - 72} \right) = 0\)

\(x + 60 = 0\) hoặc \[x - 72 = 0\]

Suy ra \(x = - 60\) (không thỏa mãn); \(x = 72\)(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(72\) km/h; vận tốc của xe thứ hai là \(72 - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }}\)(km/h).

a) Gọi \(J\) là trung điểm \[ID\].

Vì \(IK \bot AB\) nên \(\widehat {INB} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta IND\) vuông tại \[N.\] Do đó \(JI = JD = JN = \frac{1}{2}ID\)(1)

Xét \((O)\) có đường kính IK, góc nội tiếp \(\widehat {IMK}\)chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {IMK} = 90^\circ \] nên \[\Delta IMD\] vuông tại \[M\]. Do đó \(JI = JD = JM = \frac{1}{2}ID\) (2)

Từ (1), (2):\(JN = JI = JD = JM\).

Suy ra bốn điểm I, N, D, M cùng thuộc một đường tròn.

Do đó tứ giác \(INDM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh được (g.g) suy ra \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{IK}}{{IC}}\).

Do đó \(IM.\,IC = IN.\,\,IK\).

c) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng ID và CK, chứng minh E thuộc đường tròn \((O)\).

Chứng minh được:\(D\) là trực tâm tam giác IKC, từ đó suy ra \[IE \bot KC\]. Do đó điểm E thuộc đường tròn \((O)\).

Gọi chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là: \(x(\;{\rm{cm}})\,\,\,\,(30 > x > 0)\).

Khi đó chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật là: \(30 - x\,\,(\;{\rm{cm}})\).

Thể tích hình hộp chữ nhật là: \(V = x \cdot (30 - x) \cdot 20\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức: \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}x.(30 - x) \le \frac{{{{(x + 30 - x)}^2}}}{4}\\x.(30 - x) \cdot 20 \le 20 \cdot \frac{{{{30}^2}}}{4}\\V \le 4500\end{array}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x = 30 - x,\) tức là \(x = 15\).

Vậy thể tích của chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất là \(4500\;c{m^3}\).