Bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức xác suất toàn phần lớp 12 (có lời giải)

4.6 581 lượt thi 31 câu hỏi

Câu 1/31

Cho hai biến cố $A$, $B$ với ${\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,7$ và ${\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,4$. Tính ${\rm{P}}(A)$.

Lời giải

Ta có $P(B) = 0,6$. Suy ra $P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,58.{\rm{ }}$

Câu 2/31

Chị An trà lời hai câu hòi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 . Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.

Gọi $A$ là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và $B$ là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hòi thứ hai". Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô có dấu ? ở sơ đồ hình cây sau:

Lời giải

A là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và B là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai".

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,7;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,9;P(B\mid \bar A) = 0,5$.

Suy ra $P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,3;P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,1$; $P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0,5$

Ta có sơ đồ hình cây

Chị An trà lời hai câu hòi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 . Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất (ảnh 2)

Câu 3/31

Vào mỗi buối sáng ở tuyến phố H , xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2 . Xác suất có mưa vào một buối sáng là 0,1 . Tính xác suất đế sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.

Lời giải

Gọi A là biến cố "Tuyến phố H bị tắc đường" và B là biến cố "Buối sáng đó có mưa"

Theo đề ta có: ${\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,1;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,7;P(A\mid \bar B) = 0,2$

Suy ra $P(\bar B) = 1 - P(B) = 0,9$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0,1 \cdot 0,7 + 0,9 \cdot 0,2 = 0,25$

Câu 4/31

Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 , $3, \ldots ,24$; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố $A$ : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 " và biến cố $B$ : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4 ".

a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố $A,B,A \cap B,A \cap \bar B$ (Hình 2).

b) So sánh: $n(A){\rm{ và }}n(A \cap B) + n(A \cap \bar B){\rm{. }}$

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: ${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(A \cap B) + {\rm{P}}(A \cap \bar B).$

c) So sánh: ${\rm{P}}(A \cap B)$ và ${\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)$; ${\rm{P}}(A \cap \bar B){\rm{ và P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}$

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: ${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}$

Lời giải

${\rm{ a) }}\Omega = \{ 1;2;3; \ldots ;24\} .$

$A = \{ 3;6;9;12;15;18;21;24\} .$

$B = \{ 4;8;12;16;20;24\} .$

$A \cap B = \{ 12;24\} $.

$\bar B = \{ 1;2;3;5;6;7;9;10;11;13;14;15;17;18;19;21;22;23\} {\rm{. }}$

$A \cap \bar B = \{ 3;6;9;15;18;21\} $.

b) Từ câu a), suy ra $n(A) = 8,n(A \cap B) = 2,n(A \cap \bar B) = 6$.

Do $8 = 2 + 6$ nên $n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \bar B)$.

Khi đó, ${\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B) + n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} + \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}}$.

Mà ${\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}};{\rm{P}}(A \cap \bar B) = \frac{{n(A \cap \bar B)}}{{n(\Omega )}}$.

Vậy ${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B)$.

c) Ta có ${\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}})$.

${\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = {\rm{P}}(\bar B) \cdot \frac{{P(A \cap \bar B)}}{{P(\bar B)}} = {\rm{P}}(A \cap \bar B).$

Vì hai biến cố ${\rm{A}} \cap {\rm{B}}$ và $A \cap \bar B$ là hai biến cố xung khắc và $({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) \cup (A \cap \bar B)$ = A nên theo công thức xác suất ta có: ${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B).$

Câu 5/31

Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm $55\% $ tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm $45\% $ tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là $90\% $, của nhà máy II là $87\% $. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.

Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?

Lời giải

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Xét hai biến cố sau:

A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn";

B: "Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất".

Khi đó, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,55;{\rm{P}}(\bar B) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}) = 1 - 0,55 = 0,45;$

${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,9;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,87.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,55 \cdot 0,9 + 0,45 \cdot 0,87 = 0,8865.{\rm{ }}$

Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865 .

Câu 6/31

Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có $65\% $ nam giởi là thừa cân và $53,4\% $ nữ giởi là thừa cân. Nam giởi và nữ giới ở Canada đều chiếm $50\% $ dân số cả nước (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu?

Lời giải

Xét hai biến cố sau:

$A$ : "Người được chọn ra là người thừa cân";

$B$ : "Người được chọn ra là nam giới" (biến cố $\bar B$ : "Người được chọn ra là nữ giới").

Từ giả thiết ta có:

${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = 50\% = 0,5;{\rm{P}}(A\mid B) = 65\% = 0,65;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 53,4\% = 0,534.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,5 \cdot 0,65 + 0,5 \cdot 0,534 = 0,592.$

Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592 . Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là $59,2\% $.

Câu 7/31

Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường $X$. Nhóm này có $60\% $ học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy có $20\% $ học sinh nam và $15\% $ học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ.

Lời giải

Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm.

Gọi $A$ là biến cố "Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cư" và $B,\bar B$ lần lượt là các biến cố "Chọn được một học sinh nam" và "Chọn được một học sinh nữ".

Theo đề bài: $P (B) = 60 % = 0,6; P (\dot{\bar{B}}) = 1 - 0,6 = 0,4$

$P(A\mid B) = 20\% = 0,2;P(A\mid \bar B) = 15\% = 0,15.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0,6 \cdot 0,2 + 0,4 \cdot 0,15 = 0,18.{\rm{ }}$

Vậy xác suất để chọn được một học sinh biết chơi nhạc cụ là 0,18 hay $18\% $.

Câu 8/31

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ.

Lời giải

Xét phép thử lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai.

Cách 1: Gọi:

- A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

- $B$ là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ";

$ \cdot $ $\bar B$ là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh".

Ta có: $P(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};P(\bar B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Do đó $P(A\mid B) = \frac{7}{{11}}$.

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Do đó $P(A\mid \bar B) = \frac{6}{{11}}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.$

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng $\frac{{13}}{{22}}$.

Cách 2: Gọi:

- A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

- C là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ nhất";

$ \cdot $ $\bar C$ là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ hai".

Sau khi chuyển một viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 11 viên bi.

Ta có: $P(C) = \frac{1}{{11}};P(\bar C) = \frac{{10}}{{11}}$.

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ nhất: $P(A\mid C) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ hai: $P(A\mid \bar C) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(C) \cdot P(A\mid C) + P(\bar C) \cdot P(A\mid \bar C) = \frac{1}{{11}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{10}}{{11}} \cdot \frac{3}{5} = \frac{{13}}{{22}}.$

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng $\frac{{13}}{{22}}$.

Câu 9/31