Bài tập Các bài toán liên quan đến công thức Bayes lớp 12 (có lời giải)

Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,3; P(B) = 0,6 và P(A|B) = 0,4 thì P(B|A) bằng

Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,2; P(B|A) = 0,7; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\). Tính P(A|B).

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 3% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây ra tai nạn thì có 21% là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

Có hai hộp đựng các viên bi. Hộp thứ nhất đựng 5 bi đỏ và 3 bi vàng, hộp thứ hai đựng 4 bi đỏ và 2 bi vàng. Đầu tiên lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ hai. Tìm xác suất để lần thứ nhất lấy được bi đỏ biết rằng khi lấy bi từ hộp thứ hai thì thu được bi đỏ.

Một bệnh viên có hai phòng khám X và Y với khả năng lựa chọn của bệnh nhân là như nhau. Tỉ lệ bệnh nhân nam có ở phòng X và phòng Y lần lượt là 60% và 40%. Một người bệnh được chọn ngẫu nhiên từ hai phòng khám và biết người này là nam, xác suất để người bệnh đến từ phòng khám X là

Trường Phan Đình Phùng có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Tính xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao?

Từ một hộp có 50 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng là \(\frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính b – a.

Trong một đợt khảo sát về nguy cơ mắc bệnh tim mạch, người ta thấy rằng tại thành phố X, tỷ lệ người dân có lối sống ít vận động là 25%, tỷ lệ người bị bệnh tim trong số người ít vận động là 60% , trong số người có lối sống tích cực là 10%. Hỏi khi gặp một người bị bệnh tim tại thành phố này thì xác suất người đó có lối sống ít vận động là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Hai máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 35%, máy II sản xuất 65% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0,3% và 0,7%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. Tính xác suất để chọn được phế phấm do máy I sản xuất?

Một bệnh viện sử dụng một xét nghiệm để phát hiện một loại bệnh với độ chính xác là 95% (nghĩa là 95% bệnh nhân mắc bệnh sẽ có kết quả dương tính). Xét nghiệm này cũng có tỷ lệ dương tính giả là 2% (nghĩa là 2% bệnh nhân không mặc bệnh cũng có kết quả dương tính). Biết rằng 1% dân số thực sự mắc bệnh này. Nếu một người nhận kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất thực sự người đó mắc bệnh là bao nhiêu?

Cho hai biến cố A  và B với P(B) > 0. Công thức Bayes nào sau đây là đúng để tính xác suất có điều kiện P(A|B)?

Giả sử một xét nghiệm y khoa chẩn đoán bệnh có tỷ lệ dương tính thật là P(T|B) (với B là có bệnh, T là dương tính). Nếu biết xác suất có bệnh trong cộng đồng là P(B) và xác suất một người bất kỳ có kết quả dương tính là P(T). Công thức xác suất để một người thực sự có bệnh khi nhận kết quả dương tính là:

Một công ty sử dụng hai máy tự động I và II để đóng gói sản phẩm. Máy I đóng gói 70% sản lượng, máy II đóng gói 30% sản lượng. Tỷ lệ đóng gói lỗi của máy I là 5%, của máy II là 10%. Người ta chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho tổng và thấy nó bị lỗi. Xác suất để sản phẩm lỗi này do máy I đóng gói là (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)

Tỷ lệ người dân mắc một loại bệnh dịch tại một khu vực là 2%. Người ta triển khai xét nghiệm sàng lọc. Một người mắc bệnh khi xét nghiệm có xác suất dương tính là 90%. Một người không mắc bệnh khi xét nghiệm vẫn có xác suất bị dương tính giả là 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 người đi xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Xác suất để người này thực sự mắc bệnh là khoảng

Một hãng taxi sử dụng hai dòng xe: Xe xăng chiếm 40% và xe điện chiếm 60%. Thống kê ghi nhận xác suất một chiếc xe xăng gặp sự cố nhỏ trên đường trong vòng 1 tháng là 0,05; đối với xe điện là 0,02. Vào cuối tháng, quản lý chọn ngẫu nhiên hồ sơ của 1 chiếc xe và thấy chiếc xe này đã gặp sự cố trong tháng qua.

Một email gửi đến hệ thống có thể là thư hợp lệ chiếm 80% hoặc thư rác/spam chiếm 20%. Bộ lọc thông minh của hệ thống nhận diện: tỷ lệ thư rác chứa từ khóa “Khuyến mãi” là 90%; tỷ lệ thư hợp lệ chứa từ khóa này là 10%. Một email vừa đến hệ thống và bị phát hiện có chứa từ khóa “Khuyến mãi”.

Tại một tòa án, một thẩm phán xem xét vụ án trộm cắp. Dựa vào bằng chứng ngoại phạm, nghi phạm có thể có tội với xác suất 0,6 hoặc vô tội với xác suất 0,4. Hệ thống nhân chứng nhận diện: nếu nghi phạm có tội, nhân chứng nhận diện đúng với xác suất 0,85. Nếu nghi phạm vô tội, nhân chứng vẫn nhận diện nhầm là có tội với xác suất 0,1. Tại phiên tòa, nhưng chứng chỉ tay khẳng định nghi phạm chính là kẻ trộm.

Một quỹ đầu tư mạo hiểm phân tích xu hướng thị trường. Thị trường năm tới có thể tăng trưởng với xác suất 0,7 hoặc suy thoái với xác suất 0,3. Công ty nghiên cứu đưa ra dự báo: nếu thị trường tăng trưởng, công ty dự báo chính xác tăng với xác suất 0,9. Nếu thị trường suy thoái công ty dự báo nhầm là tăng với xác suất 0,2. Đầu năm, công ty nghiên cứu gửi bản dự báo tăng trưởng đến quỹ đầu tư.