$Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\]. Lấy các điểm $A,B,C,D,E,F$ trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ sao cho số đo các cung bằng nhau. Đa giác \[ABCDEF\] có là đa giác đều không? (ảnh 1)$

Ta có $s d \overset{⏜}{A B} = s d \overset{⏜}{B C} = s d \overset{⏜}{C D} = s d \overset{⏜}{D E} = s d \overset{⏜}{E F} = s d \overset{⏜}{F A} = \frac{360^{°}}{6} = 60^{°}$ .

Xét tam giác $AOB$ cân tại $O$ có $\hat{AOB} = 60^{°}$ (vì $s d \overset{⏜}{A B} = 60^{°}$ )

đều nên $AB = R$ và $\widehat {ABO} = {60^^\circ }$ (1)

Tương tự với tam giác BOC đều $\Rightarrow \hat{OBC} = 60^{°}$ và ${\rm{BC}} = {\rm{R}}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{ABC} = \hat{ABO} + \hat{OBC} = 60^{°} + 60^{°} = 120^{°}$ và $AB = BC = R$.

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác $ABCD$ có:

$AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.$

Và các góc $\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{CDE}}} = \widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {{\rm{EFA}}} = \widehat {{\rm{FAB}}} = 120^\circ $. Do đó \[ABCDEF\] là một đa giác đều.

Câu 6/6

Cho ngũ giác $ABCDE$ có các cạnh bằng nhau và $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} =$ $108^{°}$ Ngũ giác \[ABCDE\] có phải là ngũ giác đều không?

Hướng dẫn: Để chứng minh ngũ giác $ABCDE$ đều ta phải chứng minh:

* Các cạnh bằng nhau (giả thiết đã cho).

* Các góc bằng nhau: $\hat{D} = \hat{E} = 108^{°}$

Xem đáp án

Lời giải

$Cho ngũ giác $ABCDE$ có các cạnh bằ (ảnh 1)$

Ta có: $AB = BC = CD = DE = EA$ (gt) (*).

Xét tam giác $ABE$ có ${\rm{AB}} = {\rm{AE}}$ (gt) nên cân tại $A$ có $\hat{A} = 108^{°}$ (gt)

$\Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{E_{1}} = \frac{180^{°} - \hat{A}}{2} = \frac{180^{°} - 108^{°}}{2} = 36^{°}$

Tương tự với tam giác BCD , ta có: \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{D_1}}\].

Lại có $\hat{ABC} = \hat{B_{1}} + \hat{B_{2}} + \hat{B_{3}} = 108^{°}$ $\Rightarrow \hat{B_{2}} = 108^{°} - (\hat{B_{1}} + \hat{B_{3}}) \Rightarrow \hat{B_{2}} = 108^{°} - (36^{°} + 36^{°}) = 36^{°}$

Dễ thấy $ \Rightarrow BE = BD$ hay tam giác $EBD$ cân tại $B$ có $\hat{B_{2}} = 36^{°}$

$\Rightarrow \hat{E_{2}} = \hat{D_{2}} = \frac{180^{°} - \hat{B_{2}}}{2} = \frac{180^{°} - 36^{°}}{2} = 72^{°}$ . Khi đó $\hat{AED} = {\hat{E}}_{1} + {\hat{E}}_{2} = 36^{°} + 72^{°} = 108^{°}$

Tương tự $\hat{CDE} = 108^{°}$ . Vậy $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = \hat{E} = 108^{°}$

Từ $^{(*)}$ và $\left( {^{(*)}} \right) \Rightarrow $ Ngũ giác \[ABCDE\]là ngũ giác đều (Các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau).

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán