b) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy hàm số đạt GTNN khi v = 80 và GTNN là 400. Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là 80 km/h.

Câu 2/32

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1 ≤ x ≤ 18). Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: C (x) = x³ – 3x² – 20x + 500.

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi B (x) là số tiền bán được và L (x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa.

a) Hãy viết biểu thức tính B (x) và L (x) theo x.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số L (x) trên [1; 18].

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.

Lời giải

a) Khi bán x mét vải lụa:

Số tiền thu được là: B (x) = 220x (nghìn đồng).

Lợi nhuận thu được là: L (x) = B (x) – C (x) = –x³ + 3x² + 240x – 500 (nghìn đồng).

b) Hàm số L (x) xác định trên [1; 18].

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm L '(x) = –3x2 + 6x + 240; L '(x) = 0 ⇔ x = 10 hoặc x = –8 (loại).

Trên khoảng (1; 10), L '(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

Trên khoảng (10; 18), L '(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

+ Cực trị: Hàm số L(x) đạt cực đại tại x = 10 và LCĐ = L(10) = 1 200.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại (10; 1 200) và đi qua các điểm (1; –258), (18; –1 040) như Hình 8.

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 200.

Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1 200 nghìn đồng.

Câu 3/32

Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d ′ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d ′ > 0, ảnh ảo thì d ′ < 0). Ta có công thức: \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}}{\rm{ }}hay{\rm{ }}d' = \frac{{df}}{{d - f}}\]. (Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187).

Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d ′. Ta có hàm số \[y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\]và x ≠ 3.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?

Lời giải

a) Vì $d > 0$ nên với $x = d$ thì $x > 0$.

Xét hàm số $y = \frac{{3x}}{{x - 3}}$ với $x > 0$ và $x \ne 3$.

Tập xác định: $D = (0;3) \cup (3; + \infty )$.

Sự biến thiền:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm ${y^\prime } = \frac{{ - 9}}{{{{(x - 3)}^2}}}$. Vi ${y^\prime } < 0$ với mọi $x > 0$ và $x \ne 3$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(0;3)$ và $(3; + \infty )$.

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x}}{{x - 3}} = 3$. Suy ra đường thắng $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^3}} \frac{{3x}}{{x - 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = + \infty $. Suy ra đường thẳng ${\rm{x}} = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0) (ảnh 2)

Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điếm $(2; - 6)$ và điếm $(6;6)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biếu diễn như hình dưới đây.

Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0) (ảnh 3)

b) Đế vật là ảnh thật thì ${{\rm{d}}^\prime } > 0$, tức là $y > 0$.

Quan sát đồ thị hàm số $y = \frac{{3x}}{{x - 3}}$, ta thấy trên khoảng $(3; + \infty )$, đồ thị hàm số nằm phía trên trục ${\rm{Ox}}$ nên ${\rm{y}} > 0$ trên khoảng này. Vậy với $x > 3$, tức ${\rm{d}} > 3$ hay khoảng cách từ vật đến thấy kính lớn hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh thật.

Đế vật là ảnh áo thì ${{\rm{d}}^\prime } < 0$, tức là $y < 0$.

Quan sát đồ thị hàm số $y = \frac{{3x}}{{x - 3}}$, ta thấy trên khoáng $(0;3)$, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox nên ${\rm{y}} < 0$ trên khoảng này. Vậy với $x \in (0;3)$, tức $d \in (0;3)$ hay khoảng cách từ vật đến thấu kính lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh âo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điếm, tức vị trí $A$ tiến gần đến vị trí $F$, thì khoáng cách $A F$ dần tiến tới 0 , hay ${\rm{d}} - {\rm{f}} \to 0$, suy ra ${\rm{d}} \to {\rm{f}}$, tức là ${\rm{x}} \to 3$.

Câu 4/32

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao của hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

a) Hãy biểu thị y theo x.

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \[S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\]

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; +∞).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải

a) Thế tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: $V = 2xy\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Theo bài ra ta có $V = 500\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$, khi đó $2xy = 500$, suy ra $y = \frac{{250}}{x}$.

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là: ${{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} = 2({\rm{x}} + {\rm{y}}) \cdot 2 = 4({\rm{x}} + {\rm{y}})\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: ${{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{xq}}}} + 2\;{{\rm{S}}_{\rm{t}}} = 4({\rm{x}} + {\rm{y}}) + 2{\rm{xy}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Lại có ${\rm{y}} = \frac{{250}}{x}$ nên ${{\rm{S}}_{{\rm{tp}}}} = 4\left( {x + \frac{{250}}{x}} \right) + 2x \cdot \frac{{250}}{x} = 4x + \frac{{1000}}{x} + 500$.

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}$.

c) Xét hàm số $S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}$ với $x \in (0; + \infty )$.

Ta có $S(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}}$;

Trên khoảng $(0; + \infty ),S(x) = 0$ khi $x = 5\sqrt {10} $.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {500 + 4x + \frac{{1000}}{x}} \right) = + \infty $;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {500 + 4x + \frac{{1000}}{x}} \right) = + \infty $

Bảng biến thiên

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm^3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất (ảnh 2)

d) Đế dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhó nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số $S({\rm{X}})$ đạt giá trị nhó nhất bằng: $500 + \frac{{200\sqrt {10} }}{5}$

tại $x = 5\sqrt {10} $. Với $x = 5\sqrt {10} $, ta có $y = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} = 5\sqrt {10} $.

Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là $2\;{\rm{cm}},5\sqrt {10} \;{\rm{cm}},5\sqrt {10} \;{\rm{cm}}$ thì dùng ít vật liệu nhất.

Câu 5/32

Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình vẽ bên dưới).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được. Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải

a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là ${\rm{x}},6 - 2{\rm{x}}$ và $6 - 2{\rm{x}}({\rm{dm}})$.

Rõ ràng ${\rm{x}}$ phải thỏa mãn điều kiện $0 < {\rm{x}} < 3$.

Thể tích của chiếc hộp là ${\rm{V}}({\rm{x}}) = {\rm{x}}{(6 - 2{\rm{x}})^2}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\quad (0 < {\rm{x}} < 3)$.

b) Xét hàm số ${\rm{V}}({\rm{x}}) = {\rm{x}}{(6 - 2{\rm{x}})^2}$ với ${\rm{x}} \in (0;3)$.

Tập xác định: ${\rm{D}} = (0;3)$.

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm ${{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) = {(6 - 2{\rm{x}})^2} + {\rm{x}} \cdot 2(6 - 2{\rm{x}}) \cdot ( - 2) = (6 - 2{\rm{x}})(6 - 6{\rm{x}})$.

Trên khoảng $(0;3)$, ta có ${{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1$.

Trên khoảng $(0;1),{{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng $(1;3),{{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại ${\rm{x}} = 1,{{\rm{y}}_{{\rm{CD}}}} = 16$.

Bảng biến thiên:

Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông (ảnh 2)

Đồ thị:

Trên khoảng $(0;3)$, đồ thị hàm số đi qua các điểm $(1;16)$ và $(2;8)$.

Đồ thị hàm số ${\rm{V}}({\rm{x}})$ trên khoảng $(0;3)$ được biểu diễn như hình dưới đây.

Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông (ảnh 3)

Từ đó, ta thấy đế tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bó để chiếc hộp đạt thế tích lớn nhất, ta cần tìm ${x_0} \in (0;3)$ sao cho ${\rm{V}}\left( {{{\rm{x}}_0}} \right)$ có giá trị lớn nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng $(0;3)$ hàm số có một điếm cực trị duy nhất là điếm cực đại $x = 1$ nên tại đó ${\rm{V}}({\rm{x}})$ có giá trị lớn nhất là ${\max _{(0;3)}}V(x) = 16$.

Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là $1{\rm{dm}}$ thì chiếc hộp có thế tích lớn nhất.

Câu 6/32

Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức: \[Q(t) = - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100,\] trong đó Q tính theo m3/phút, t tính theo phút, 0 ≤ t ≤ 20 (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m3/phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

Trong thời gian theo dõi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điểm nào?

Lời giải

Xét hàm số ${\rm{Q}}({\rm{t}}) = - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100$ với ${\rm{t}} \in [0;20]$.

Ta có ${\rm{Q}}({\rm{t}}) = - \frac{3}{5}{t^2} + 10t$; ${{\rm{Q}}^\prime }({\rm{t}}) = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{5}{t^2} + 10t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{50}}{3}{\rm{ hoặc }} = 0.{\rm{ }}$

Bảng biến thiên của hàm số trên doạn [0 ; 20] như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra ${\max _{[0:20]}}{\rm{Q}}({\rm{t}}) = \frac{{15200}}{{27}}$ tại $t = \frac{{50}}{3}$, tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhât là $\frac{{15200}}{{27}}\;{{\rm{m}}^3}/$ phút tại thời điểm $t = \frac{{50}}{3}$ phút.

Cảnh báo lū được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến $550\;{{\rm{m}}^3}/$ phút, tức là

$Q(t) \ge 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100 \ge 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 450 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{t}} \le 5 - 5\sqrt 7 }\\{15 \le {\rm{t}} \le 5 + 5\sqrt 7 }\end{array}} \right.{\rm{. }}$

Lại có $t \in [0;20]$ nên $15 \le t \le 5 + 5\sqrt 7 $.

Vây tại thời điếm $t \in [15;5 + 5\sqrt 7 ]$ phút thì cảnh báo lū được đưa ra.

Câu 7/32

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1 \le x \le 18)$. Tồng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

$C(x) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500.{\rm{ }}$

Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng $/{\rm{mét}}$.

Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa.

a) Hãy viết biểu thức tính $B(x)$ và $L(x)$ theo $x$.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $L(x)$ trên [1 ; 18].

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.

Lời giải

a) Khi bán $x$ mét vải lụa:

Số tiền thu được là: $B(x) = 220x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận thu được là: $L(x) = B(x) - C(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500$ (nghìn đồng).

b) Hàm số $L(x)$ xác định trên $[1 ; 18]$.

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm ${L^\prime }(x) = - 3{x^2} + 6x + 240;{L^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ hoặc $x = - 8$ (loại).

Trên khoảng $(1;10),{L^\prime }(x) > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

Trên khoảng $(10;18),{L^\prime }(x) < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Cực trị: Hàm số $L(x)$ đạt cực đại tại $x = 10$ và ${L_{CD}} = L(10) = 1200$.

Bảng biến thiên:

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1≤x≤18). Tồng chi phí sản xuất x mét vải lụa (ảnh 1)

Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại $(10;1200)$ và đi qua các điểm $(1; - 258),(18; - 1040)$ như Hình vẽ .

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1≤x≤18). Tồng chi phí sản xuất x mét vải lụa (ảnh 2)

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi $x = 10$ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1200 . Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1200 nghìn đồng.

Câu 8/32

Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hoà tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với t ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Lời giải

a) Thể tích nước có trong bế sau $t$ phút là: $V(t) = 200 + 40t$ (lít).

Khối lượng chất khử trùng có trong bế sau t phút là: ${\rm{M}}({\rm{t}}) = 20{\rm{t}}({\rm{gam}})$.

Nồng độ chất khử trùng trong bế sau t phút là: $\frac{{20t}}{{200 + 40t}}$ (gam/lit).

b) $y = f(t) = \frac{{20t}}{{200 + 40t}}(t \ge 0)$.

Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = [0; + \infty )$.

Sự biến thiên:

Ta có ${y^\prime } = \frac{{20(200 + 40t) - 20t \cdot 40}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} = \frac{{4000}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} > 0$ với mọi ${\rm{t}} \in {\rm{D}}$.

Hàm số luôn đồng biến trên ${\rm{D}}$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{20t}}{{200 + 40t}} = \frac{1}{2}$. Do đó $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

$\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \frac{{20t}}{{200 + 40t}} = 0$

Bảng biến thiên

Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hoà tan). (ảnh 1)

Đồ thị.

Hàm số đi qua điểm $(0;0);\left( {1;\frac{1}{{12}}} \right);\left( {2;\frac{1}{7}} \right)$.

Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hoà tan). (ảnh 2)

c) Vì ${y^\prime } = \frac{{4000}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0$ và lim $_{t \to + \infty }\frac{{20t}}{{200 + 40t}} = \frac{1}{2}$ nên nồng độ chất khử trùng tăng theo $y$ nhưng không vượt ngường $0,5{\rm{gam}}/$ lít.

Câu 9/32