Bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/23

Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trinh ${(x - 300)^2} + {(y - 400)^2} + {(z - 2000)^2} = 1$. Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình $z = 0$.

Lời giải

Tọa độ tâm I(300; 400; 2000), R =1.

Khoảng cách từ tâm của quá bóng đến mặt đất có phương trình $z = 0$ là $d = \frac{{|2000|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2000$ (mét).

Câu 2/23

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng $M$. Cho biết $M$ đang nằm trên mặt sân có phương trình $z = 0$, đồng thời thuộc mặt cầu $(S):{(x - 32)^2} + {(y - 50)^2} + {(z - 10)^2} = 109$ (đơn vị độ dài tính theo mét).

a) Tìm toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc $J$ của tâm $I$ trên mặt sân.

c) Tính khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$.

Lời giải

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M (ảnh 2)

a) Mặt cầu $(S)$ có phương trình

${(x - 32)^2} + {(y - 50)^2} + {(z - 10)^2} = 109$

nên có tâm $I(32;50;10)$ và bán kính $R = \sqrt {109} $.

b) Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình $z = 0$ trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, suy ra hình chiếu vuông góc của điểm $I(32;50;10)$ xuống mặt sân có toạ độ $J(32;50;0)$.

c) Trong tam giác vuông IJM, ta có $IJ = 10,IM = {\rm{R}}$, suy ra

$JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}} = \sqrt {109 - 100} = 3.$

Vậy khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$ là 3 m .

Câu 3/23

Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục toạ độ là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điềm $I( - 6; - 1;4)$.

a) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 2 km . Viết phương trình mặt cầu $(S)$ biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng.

b) Một người sử dụng điện thoại tại điểm $M( - 5; - 2;5)$. Hãy cho biết điểm $M$ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $(S)$ và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên hay không.

c) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng điện thoại ở điểm $N( - 1;0;1)$.

Lời giải

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 6; - 1;4)$ và bán kính $R = 2$ nên có phương trình:

${(x + 6)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 4)^2} = 4.{\rm{ }}$

b) Ta có $IM = \sqrt 3 < R$, suy ra điểm $M$ nằm trong mặt cầu $(S)$ và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên.

c) Ta có $IN = \sqrt {35} > R$, suy ra điểm $N$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ và người đó không thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên.

Câu 4/23

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - 4000z + 4099900 = 0.{\rm{ }}$

Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Lời giải

Phương trình mặt cằu ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - 4000z + 4099900 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - $ 2by $ - 2cz + d = 0$ với a $ = 100;b = 300;\;c = 2000;d = 4099900$ có tâm I(100; 300; 2000) và $R = \sqrt {{{100}^2} + {{300}^2} + {{2000}^2} - 4099900} = 10$.

Câu 5/23

Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0.$

Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Lời giải

Phương trình mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}} - 2$ by $2{\rm{cz}} + {\rm{d}} = 0$ với $a = - \frac{1}{{16}};b = \frac{1}{{16}};c = \frac{1}{2};d = \frac{1}{{16}}$

Có $R = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{{16}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{{16}}$

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu bằng bán kính của mặt cằu và bằng $\frac{{5\sqrt 2 }}{{16}}$.

Câu 6/23

Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là $I(360;200;400)$ và bán kính $r = 2\;{\rm{m}}$. Viết phương trình mặt cầu.

Lời giải

Mặt cầu có tâm I( $360;200;400)$ và bán kính $r = 2$ có phương trình là:

${(x - 360)^2} + {(y - 200)^2} + {(z - 400)^2} = 4.{\rm{ }}$

Câu 7/23

Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A(2;0;0)$. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kinh bằng 1 . Hỏi vị trí $M(2;1;1)$ có thuộc vưng phư sóng của thiết bị nói trên hay không?

Lời giải

Ta có $AM = \sqrt {{{(2 - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 > 1$

Do đó vị trí $M(2;1;1)$ không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.

Câu 8/23

Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là $α^{°} N, β^{°} E (0 < α < 90, 0 < β < 90)$ thì có toạ độ $M (\cos α^{°} \cos β^{°}; \cos α^{°} \sin β^{°}; \sin α^{°})$ . Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí đến vị trí $Q : 80^{°} N {,70}^{°} E$ .

Lời giải

Ta có

$P (\cos 10^{°} \cos 15^{°}; \cos 10^{°} \sin 15^{°}; \sin 10^{°}), Q (\cos 80^{°} \cos 70^{°}; \cos 80^{°} \sin 70^{°}; \sin 80^{°}) .$

Suy ra: $\vec{O P} = (\cos 10^{°} \cos 15^{°}; \cos 10^{°} \sin 15^{°}; \sin 10^{°}), △ \vec{O Q} = (\cos 80^{°} \cos 70^{°}; \cos 80^{°} \sin 70^{°}; \sin 80^{°}) .$

Do đó

$\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = \cos 10^{°} \cos 15^{°} \cos 80^{°} \cos 70^{°} + \cos 10^{°} \sin 15^{°} \cos 80^{°} \sin 70^{°} + \sin 10^{°} \sin 80^{°} \approx 0,2691.$

Vi P, Q thuộc mặt đất nên $| \vec{O P} | = | \vec{O Q} | = 1$ .

Do đó $\cos \hat{P O Q} = \frac{\vec{O P} \cdot \vec{O Q}}{| \vec{O P} | \cdot | \vec{O Q} |} \approx 0,2691$ . Suy ra $\hat{P O Q} \approx {74,3893}^{°}$ .

Mặt khác, đường tròn tâm, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là $2 π \approx 6,2832$ , nên cung nhỏ $\overset{⏜}{P Q}$ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng $\frac{74,3893}{360} \cdot 6,2832 \approx 1,2983$ .

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983 6371 $ = 8271,4693(\;{\rm{km}})$.

Câu 9/23