Bài tập Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải)

Mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm là $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$.

Suy ra, mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$ có tâm là $I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)$.

Câu 2/17

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], tìm tất cả các giá trị của \[m\] để phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\] là phương trình mặt cầu.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: $m < 1$ hoặc $m > 2$.

Điều kiện để phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\] là phương trình mặt cầu là: \[{\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} - 19m + 6 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0\]$ \Leftrightarrow m < 1$ hoặc $m > 2$.

Câu 3/17

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( { - 1;0;0} \right)$, $B\left( {0;0;2} \right)$, $C\left( {0; - 3;0} \right)$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: $\frac{{\sqrt {14} }}{2}$

Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Vì $O$, $A$, $B$, $C$ thuộc $\left( S \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\1 + 2a + d = 0\\4 - 4c + d = 0\\9 + 6b + d = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{3}{2}\\c = 1\\d = 0\end{array} \right.$.

Vậy bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $$ = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} $$ = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$.

Câu 4/17

Trong không gian $Oxyz$, gọi $I\left( {a;\,b;\,c} \right)$ là tâm mặt cầu đi qua điểm $A\left( {1;\, - 1;\,4} \right)$ và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính $P = a - b + c$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: $P = 9$

Vì mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên $d\left( {I,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Ozx} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)$ $ \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b = - c\\a = - b = c\\a = - b = - c\end{array} \right.$

Nhận thấy chỉ có trường hợp $a = - b = c$ thì phương trình $AI = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)$ có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy:

Với $a = - b = c$ thì $I\left( {a;\, - a;\,a} \right)$

$AI = d\left( {I,\,\left( {Oyx} \right)} \right)$$ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 0$ $ \Leftrightarrow a = 3$

Khi đó $P = a - b + c = 9$.

Câu 5/17

Trong không gian $Oxyz$, tìm giá trị dương của $m$ sao cho mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ tiếp xúc với mặt cầu ${\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 1$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: $m = \sqrt 3 $

Mặt cầu $\left( S \right)$: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 1$ có tâm $I\left( {3\,;\,0\,;\,2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{m^2} + 1} $.

$\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( {Oxy} \right)$$ \Leftrightarrow d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = R$

$ \Leftrightarrow 2 = \sqrt {{m^2} + 1} $$ \Leftrightarrow {m^2} = 3$$ \Leftrightarrow m = \sqrt 3 $ (do $m$ dương).

Câu 6/17

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {1;2; - 4} \right)\], \[B\left( {1; - 3;1} \right)\], \[C\left( {2;2;3} \right)\]. Tính đường kính của mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: \[2\sqrt {26} \]

Gọi tâm mặt cầu là: \[I\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}0} \right)\].

\[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} + {1^2}} \\\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {3^2}} \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 2} \right)^2} + {4^2} = {\left( {y + 3} \right)^2} + {1^2}\\{x^2} - 2x + 1 + 16 = {x^2} - 4x + 4 + 9\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10y = 10\\2x = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow l = 2R = 2\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt {26} \].

Câu 7/17