Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g)

+ Vẽ tam giác ABC:

-) Vẽ đoạn thẳng BC = 2 cm.

-) Trên cùng một nửa mặt phăng bờ BC, vẽ các tia Bx và Cy sao cho ∠CBx = 90º và &BCy = 60º.

Hai tia trên cắt nhau tại A ta được tam giác ABC.

+) Đo AC ta được: AC = 4cm.

+ ΔABD = ΔCBD (g.c.g) vì:

∠ABD = ∠CBD (gt)

BD chung

∠ADB = ∠BDC (= 90o)

+ Ta có: ∠FGI = ∠IHE ( giả thiết). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên: FG // HE

⇒ ∠GFI = ∠IEH ( hai góc so le trong).

*) Khi đó: ΔGIF = ΔHIE (g.c.g) vì:

∠GFI = ∠IEH ( chứng minh trên)

FI = IE ( giả thiết)

∠GIF = ∠EIH (hai góc đối đỉnh)

Tam giác ADE có: ∠D = ∠E (giả thiết) (1)

∠(D1) = ∠(D2) = (1/2)∠D (vì DM là tia phân giác của góc ADE) (2)

∠(E1) = ∠(E2) = (1/2)∠E (vì EN là tia phân giác của góc AED) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠(D1 ) = ∠(D2) = ∠(E1) = ∠(E2 )

+) Xét ΔDNE và ΔEMD, ta có:

∠(NDE) = ∠(MED) (giả thiết)

DE cạnh chung

∠(D2) = ∠(E2 ) (chứng minh trên)

Suy ra: ΔDNE = ΔEMD (g.c.g)

Vậy DN = EM (hai cạnh tương ứng)

Nối AK, ta có:

AB // HK (giả thiết)

⇒ ∠(A1 ) =∠(K1 ) (hai góc so le trong)

+) Lại có: AH // BK (giả thiết)

⇒ ∠ (A2 ) = ∠(K2 ) (hai góc so le trong)

Xét ΔABK và ΔKHA, ta có:

∠(A1 ) =∠(K1 ) ( chứng minh trên)

AK cạnh chung

∠(K2 ) =∠(A2 ) (chứng minh trên)

Suy ra: ΔABK =ΔKHA (g.c.g)

Vậy: AB = KH; BK = AH ( 2 cạnh tương ứng)

Kẻ OH⊥BC

Xét hai tam giác vuông OEB và OHB, ta có:

∠(OEB) =∠OHB=90o

Cạnh huyền OB chung

∠(EBO) =∠(HBO) ( vì BO là tia phân giác của góc ABC).

Suy ra Δ OEB = Δ OHB (cạnh huyền góc nhọn)

⇒OE = OH (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông OHC và ODC, ta có:

∠(OHC) =∠ODC=90o

Cạnh huyền OC chung

∠(HCO) =∠(DCO)

Suy ra Δ OHC = Δ ODC (cạnh huyền góc nhọn)

⇒OD = OH (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OE = OD

Xét ΔBEA và CDA, ta có:

BA = CA (giả thiết)

∠A chung

AE=AD (giả thiết)

Suy ra: ΔBEA = ΔCDA (c.g.c)

Vậy: BE = CD (hai cạnh tương ứng)

ΔBEA= ΔCDA (chứng minh trên)

⇒∠(B1 ) =∠(C1 ) ;∠(E1 ) =∠(D1 ) (hai góc tương ứng) (1)

+) Ta có: ∠(E1 ) +∠(E2 ) =180o (hai góc kề bù) (2)

Và ∠(D1 ) +∠(D2 ) =180o (hai góc kề bù) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠(E2 ) =∠(D2 )

+) Theo giả thiết ta có; AB = AC

Và AD = AE

Lấy vế trừ vế, suy ra:

AB - AD = AC - AE hay BD = CE

Xét ΔOEC và ΔOCE, ta có:

∠(D2 ) =∠(E2 ) (chứng minh trên)

DB=EC (chứng minh trên)

∠(B1 ) =∠(C1 ) (chứng minh trên)

Suy ra: ΔODB= ΔOCE ( g.c.g)

Trong ΔADB, ta có:

∠B +∠(A1 ) +∠(D1) =180o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠(D1 ) =180o-(∠B +(A1)) (1)

Trong ΔADC, ta có:

∠C +∠(A2) +∠(D2) =180o (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: ∠(D2) =180o-(∠C +∠(A2) ) (2)

+) Lại có: ∠B =∠C (gỉa thiết)

∠(A1 ) =∠(A2) (vì AD là tia phân giác của góc BAC) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ∠(D1) =∠(D2)

Xét ΔABD và ΔACD, ta có:

∠(A1 ) =∠(A2) ( Vì AD là tia phân giác của góc BAC)

AD cạnh chung

∠(D1 ) =∠(D2) ( chứng minh trên).

Vậy: ΔABD= ΔACD (g.c.g)

Vậy: AB = AC (hai cạnh tương ứng)

DB = DC (hai cạnh tương ứng)