Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Vì điểm O cách đều hai điểm A và B nên O thuộc đường trung trực của AB.

Vì điểm O cách đều hai điểm A và C nên O thuộc đường trung trực của AC.

Vì điểm O cách đều hai điểm B và C nên O thuộc đường trung trực của BC.

Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm. Dựng đường trung trực AB và BC cắt nhau tại O.

Vậy O là điểm cần tìm.

Nối KA, KB, KC (hình 65b).

Vì KD là đường trung trực của AB nên:

KA = KB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: ΔKAB cân tại K

Do đó KD là đường phân giác của ∠(AKB)

Suy ra: ∠K1 = ∠K3 ⇒ ∠(AKB) = 2 ∠K1 (1)

Vì KE là đường trung trực của AC nên:

KA = KC (tính chất đường trung trực)

Do đó, tam giác AKC cân tại K. Suy ra KE là đường phân giác của ∠(AKC)

Suy ra: ∠K2 = ∠K4 ⇒ ∠(AKC) = 2 ∠K2 (2)

Ta có: KD ⊥ AB (gt) và AC ⊥ AB (gt)

Suy ra: KD // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau)

Lại có: KE ⊥ AC (gt)

Suy ra: KE ⊥ KD (quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song)

Hay: ∠(DKE) = 90o⇒ ∠K1 +∠K2 = 90o

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(AKB) + ∠(AKC) = 2∠K1 + 2∠K2

= 2.( ∠K1 +∠K2 ) = 2.90o = 180o.

Vậy B, K, C thẳng hàng.

Kẻ đường trung trực của AC cắt BC tại K

Nối AK.

Ta có: KA = KC (tính chất đường trung trực)

Suy ra: Δ KAC cân tại K

Suy ra: ∠(KAC) = ∠C (1)

Lại có: ∠C + ∠B = 90o (t/chất tam giác vuông) (2)

Mà: ∠(KAC) + ∠(KAB) = ∠(BAC) = 90o (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠B = ∠(KAB)

Do đó; Δ KAB cân tại K ⇒ KA = KB

Suy ra: K thuộc đường trung trực của AB

Do đó K là giao điểm ba đường trung trực của Δ ABC

Suy ra: KB = KC = KA ⇒ K là trung điểm của BC

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền

Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi K là trung điểm của BC,

Theo chứng minh phần a ta có: KA = KB = KC

Suy ra: KA = BC/2

Vậy tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AK bằng nửa cạnh huyền BC.

Lấy ba điểm A, B, C phân biệt trên đường viền.

Dựng đường trung trực của AB và BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O.

Khi đó; OA = OB = OC

Suy ra: O là tâm của đường viền.

Vì ∆ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC nên AM cũng là đường trung trực của BC.

Vì D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc đường trung trực của AB.

Theo tính chất đường trung trực, ta có:

DA = DB.