10 bài tập Tích của một số với một vectơ (có lời giải)

a) Theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {A{A^\prime }}  = \overrightarrow {A{C^\prime }} \).

\({\rm{b}})\) Vì \(A{A^\prime }//C{C^\prime }\) và \(A{A^\prime } = C{C^\prime }\) (vì cùng song song và bằng \(B{B^\prime }\) )

Nên \(A{A^\prime }{C^\prime }C\) là hình bình hành.

Mà \(A{C^\prime }\) và \({{\rm{A}}^\prime }C\) cắt nhau tại \({\rm{O}}\) nên \({\rm{O}}\) là trung điếm của \({\rm{AC}}\) '.

Suy ra \(AO = \frac{1}{2}A{C^\prime }\) mà \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {A{C^\prime }} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AO}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {A{C^\prime }} \) hay \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = 2\overrightarrow {AO} \).

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} ,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \).

Do đó \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN} \).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng AD nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\).

Vì \(N\) là trung diểm của đoạn thẳng BC nên \(\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} )\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \).