6 bài tập Toán thực tế (có lời giải)

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC .

Kẻ đường cao AH , khi đó tâm I của đường tròn nội tiếp (giao điểm của ba đường phân giác cũng là trọng tâm).

Ta có AH là đường trung tuyến\( \Rightarrow {\rm{H}}\)là trung điểm của BC hay \({\rm{BH}} = {\rm{CH}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (m).

Xét tam giác BHI vuông tại H . Có \({\rm{BH}} = 6\;{\rm{cm}}\) và $\widehat{\text{IBH}}={30}^{°}$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $\text{IH}=\text{BH}\cdot \tan \text{IBH}=6\cdot \tan {30}^{°}=2\sqrt{3}( \text{m})$

Vậy bán kính của phần đất trồng hoa là \({\rm{r}} = 2\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\)

Do đó diện tích phần đất trồng hoa là \({\rm{S}} = \pi \cdot {(2\sqrt 3 )^2} = 12\pi \left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Gọi O là vị trí cách đều ba vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung trực).

Do $△\text{ABC}$đều (gt) nên O đồng thời là trực tâm và trọng tâm của tam giác hay AH là đường cao của tam giác ABC

đều cạnh 15 m .\( \Rightarrow {\rm{AH}} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}(\;{\rm{m}})\) vì AH đồng thời là trung tuyến của có trọng tâm O\( \Rightarrow {\rm{OA}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{15\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\).

Vậy khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) là \(5\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\).

a) Xét tam giác ABC , ta có: \({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}\left( {{{1500}^2} = {{900}^2} + {{1200}^2}} \right)\)

Theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A .

Phần đất giới hạn là tam giác vuông, gọi P là chu vi, ta có: \(P = AB + BC + AC = 900 + 1500 + 1200 = 3600(m)\)

Và diện tích \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{AB}} \cdot {\rm{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1200 = 540000\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)

b) Gọi O là nơi xây dựng khách sạn và khoảng cách từ khách sạn đến ba con đường là \({\rm{OH}} = {\rm{OI}} = {\rm{OK}} = {\rm{R}}\).

Ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}}\) (trong đó \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}}\) lần lượt là diện tích các tam giác AOB, AOCvà BOC)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AB}} + \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AC}} + \frac{1}{2}R \cdot BC\)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}}({\rm{AB}} + {\rm{AC}} + {\rm{BC}})\)

\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{P }}\) (\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\)là diện tích và \(P\) là chu vi)\( \Rightarrow {\rm{R}} = \frac{{2 \cdot \;{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{\rm{P}}} = \frac{{2.540000}}{{3600}} = 300(\;{\rm{m}})\)

Khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường 300 (m).

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Kẻ AH là đường cao vìđều nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC,ta có: \({\rm{HB}} = {\rm{HC}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30(\;{\rm{m}})\)

Tam giác AHC vuông tại H. Theo định lí Pythagore, ta có:

\({\rm{A}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{H}}^2} = {60^2} + {30^2}\)\( \Rightarrow {\rm{AB}} = \sqrt {{{60}^2} + {{30}^2}} = 30\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\)

Ta có: \({\rm{OA}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}}\) (tính chất trọng tâm)\( \Rightarrow {\rm{OA}} = \frac{2}{3} \cdot 30\sqrt 3 = 20\sqrt 3 (\;{\rm{m}})\)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh 60 m là: \({\rm{OA}} = 20\sqrt 3 (\;{\rm{m}}) \approx 34,6(\;{\rm{m}}) < 50(\;{\rm{m}})\)

Vậy có thể đặt vị trí bộ phát sóng tại O .

Vì \(O\) cách đều 3 đỉnh của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\).

Gọi \(a\left( {cm} \right)\) là độ dài cạnh của tam giác đều \(ABC{\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\).

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là \(60cm\).

Nên \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow a\sqrt 3 = 180 \Leftrightarrow a \approx 104\) (nhận).

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) khoảng \(104m\).