10 Bài tập Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Đường thẳng d₁: 2x – y – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1\left(2;-1\right)$.

Đường thẳng d₂: x – 3y + 9 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2\left(1;-3\right)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

$\cos \alpha =\left|\cos \left({\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_1\right|.\left|{\overrightarrow{n}}_2\right|}=\frac{\left|2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot \left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}\cdot \sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Do đó α = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1\left(2;2\sqrt{3}\right)$.

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2\left(0;1\right)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

$\cos \alpha =\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{u}}_1.{\overrightarrow{u}}_2\right|}{\left|{\overrightarrow{u}}_1\right|\cdot \left|{\overrightarrow{u}}_2\right|}=\frac{\left|2\cdot 0+2\sqrt{3}\cdot 1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Do đó α = 30°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1\left(1;2\right)$.

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(2;1\right)$ nên có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2\left(1;-2\right).$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

$\cos \alpha =\left|\cos \left({\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_1\right|\cdot \left|{\overrightarrow{n}}_2\right|}=\frac{\left|1\cdot 1+2\cdot \left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng Δ₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1\left(1;-2\right)$, nên có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_1\left(2;1\right)$.

Đường thẳng Δ₂ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_2\left(-1;2\right)$.

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=2\cdot \left(-1\right)+1\cdot 2=0$ suy ra góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ là 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d₁: 3x + 4y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1\left(3;4\right)$.

Đường thẳng d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=15+12t\\ y=1+5t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_2\left(12;5\right)$ nên có một pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2\left(5;-12\right)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d₁: (3 + m)x – (m – 1)y = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1\left(3+m;-m+1\right)$.

Đường thẳng d₂: (m – 2)x + (m + 1)y – 20 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2\left(m-2;m+1\right)$.

Góc giữa hai đường thẳng bằng 90° nên ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0$, tức là:

(3 + m)(m – 2) + (1 – m)(m + 1) = 0

⇔ m² + m – 6 + 1 – m² = 0

⇔ m = 5

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.