Dạng 3: Bài toán về hai hay nhiều số nguyên tố cùng nhau

Ta có: 28 = $2^2.7$; 81 = $3^4$; 44 = $2^2.11$

Nên các số nguyên tố cùng nhau là 28 và 81; 81 và 44

Gọi d = UCLN(2n+3,4n+8)

Suy ra 2n+3$⋮$d và 4n+8$⋮$d

Ta có 2n+3$⋮$d => 2.(2n+3)$⋮$d => 4n+6$⋮$d

Vì 4n+8$⋮$d và 4n+6$⋮$d nên (4n+8) – (4n+6)$⋮$d => 2$⋮$d => d$\in${1;2}

Vì 2n+3 là số lẻ nên d = 2 là không thỏa mãn. Vậy d = 1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2n+3 và 4n+8 là nguyên tố cùng nhau

Vì 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau nên ta gọi d = UCLN(7n+13,2n+4)

=>7n+13$⋮$d và 2n+4$⋮$d

Có 7n+13$⋮$d => 2(7n+13)$⋮$d => 14n+26$⋮$d

2n+4$⋮$d => 7.(2n+14)$⋮$d => 14n+28$⋮$d

Suy ra (14n+28) – (14n+26)$⋮$d => 2$⋮$d => d$\in${1;2}

Nếu d = 1 thì 7n+13 và 2n+4 là nguyên tố cùng nhau

Nếu d = 2 => 7n+13$⋮$2 => 7.(n+1)+6$⋮$2 vì 6$⋮$2 nên 7.(n+1)$⋮$2 mà UC(7,2) = 1 => n+1$⋮$2

Để n+1$⋮$2 thì n = 2k+1

Vậy để 7n+13 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 2k+1