Đề thi giữa kì 2 Toán 8 (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) Nửa quãng đường dài là: \(48:2 = 24\,\,{\rm{(km)}}\)

Thời gian anh Nam đi trong nửa đoạn đường đầu là: \(\frac{{24}}{x}\) (giờ)

b) Tốc độ ở nửa đoạn đường sau là: \[x - 4\] (km/giờ).

Thời gian anh Nam đi trong nửa đoạn đường sau là: \(\frac{{24}}{{x - 4}}\) (giờ)

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)

b) Với \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\)

Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)

Gọi \[x\] (món hàng) là số món hàng công ty ABC giao cho khách ngày 05/01/2025 \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).\)

Số shipper dự tính là: \(\frac{x}{{30}}\) (người).

Số shipper thực tế là: \(\frac{x}{{36}}\) (người).

Do số shipper vận chuyển hàng giảm đi 3 người nên ta có phương trình:

                    \(\frac{x}{{30}} - \frac{x}{{36}} = 3\)

                    \[\left( {\frac{1}{{30}} - \frac{1}{{36}}} \right)x = 3\]

\(\frac{1}{{180}}x = 3\)

\(x = 540\) (thỏa mãn).

Vậy ngày 05/01/2025 công ty ABC giao cho khách 540 món hàng.

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) là góc chung. Do đó  (g.g). b) Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\) Suy ra \(BC = 10{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a),  nên \(\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)

c) Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE\) có:

\(\widehat {DAC} = \widehat {EHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACD} = \widehat {HCE}\) (do \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}).\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{HE}}\] (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}\] (*)

d) ⦁ Chứng minh tương tự câu a), ta cũng có:  (g.g).

Mà  hay  nên

Suy ra \[\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{CA}}\] (tỉ số cạnh tương ứng), do đó \[BH = \frac{{AB}}{{AC}} \cdot AH = \frac{6}{8} \cdot 4,8 = 3,6{\rm{\;cm}}.\]

Khi đó \[HC = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4{\rm{\;cm}}.\]

⦁ Ta có \(CD\) là phân giác \(\widehat {ACB}\) nên \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{DA}}{{DB}},\) do đó \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}.\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AD + BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AB}} = \frac{{8 + 10}}{6} = 3.\]

Suy ra \(AD = \frac{{AC}}{3} = \frac{8}{3}{\rm{\;cm}}\) và \[\frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AD}} = 3.\]

Khi đó \[HE = \frac{{HC}}{3} = \frac{{6,4}}{3} = \frac{{32}}{{15}}.\]

Ta có \[\frac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{HCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AD \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HE \cdot HC}} = \frac{{AD \cdot AC}}{{HE \cdot HC}} = \frac{{\frac{8}{3} \cdot 8}}{{\frac{{32}}{{15}} \cdot 6,4}} = \frac{{25}}{{16}}.\]

Vậy tỉ số diện tích của \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE\) là \[\frac{{25}}{{16}}.\]

1. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\], ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\).

Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\).

Do đó \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3,7} \right)}^2} - {{\left( {1,2} \right)}^2}} = 3,5\,\,(m)\).

Ta có \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{3,5}}{{1,2}} \approx 2,9\).

Mà \[2,9 > 2,2\] nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.