Bài tập Áp dụng giải tam giác vào các bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)

Câu 1/12

Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một ao cá nhà bác An. Biết khoảng cách từ chỗ bác An đứng đến hai đầu ao lần lượt là 700 m và 900 m và bác An quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 60° như hình vẽ.

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cosA\)

\( = {700^2} + {900^2} - 2.700.900.cos60^\circ \)= 670 000.

Suy ra: BC = \(\sqrt {670000} \approx 818,5\)(m).

Câu 2/12

Từ vị trí điểm C người ta quan sát một cây cao (như hình vẽ).

Biết BC = 5 m, \(\widehat {ACB} = 45^\circ ,\widehat {CBA} = 50^\circ \). Chiều cao của cây bằng bao nhiêu?

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)\( \Rightarrow \widehat A = 85^\circ \).

Theo định lí sin ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin 85^\circ }}\)\( \Leftrightarrow AB = \sin 45^\circ .\frac{5}{{\sin 85^\circ }}\)≈ 3,55 (m).

Vậy chiều cao của cây khoảng 3,55 m.

Câu 3/12

Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau: Xác định một điểm C sao cho ta đo được AC = 15 m, BC = 21 m và \[\widehat {ACB} = 80^\circ \]. Khoảng cách AB gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 20 m;

B. 24 m;

C. 30 m;

D. 34 m.

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Media VietJack

Theo định lí côsin ta có:

\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\).

Thay số: \(A{B^2} = {21^2} + {15^2} - 2.21.15.\cos 80^\circ \)≈ 556,6

Suy ra: AB ≈ \(\sqrt {556,6} \)≈ 23,6 (m).

Vậy khoảng cách AB là khoảng 23,6 m và gần nhất với kết quả 24 m.

Câu 4/12

Để xác định chiều cao của một tòa tháp mà không cần lên đỉnh của tòa nhà người ta làm như sau: đặt giác kế thẳng đứng cách chân tháp một khoảng AB = 55 m, chiều cao của giác kế là OA = 2 m.

Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh C của tháp. Đọc trên giác kế số đo góc \(\widehat {COD} = 60^\circ \).

Chiều cao của ngọn tháo gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 87 m;

B. 90 m;

C. 97 m;

D. 100 m.

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác OCD vuông tại D có OD = AB = 55 (m); \(\widehat {COD} = 60^\circ \)

Nên CD = OD. tan\(\widehat {COD}\) = 55\(\sqrt 3 \)≈ 95,26 (m).

Vậy chiều cao của tháp là: 95,26 + 2 = 97,26 (m).

Câu 5/12

Từ hai điểm A và B của một tòa nhà, người ta quan sát điểm pháo hoa nổ. Biết rằng AB = 120 m, phương nhìn AC tạo với phương ngang một góc 45°, phương nhìn BC tạo với phương ngang góc 15°30'.

Hỏi điểm pháo hoa nổ cao so với mặt đất gần với giá trị nào sau đây?

A. 166 m;

B. 266 m;

C. 250 m;

D. 300 m.

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BAH} - \widehat {CAH} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Lại có: \(\widehat {ABC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'\).

Trong tam giác ABC có: \(\widehat {BCA} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 29^\circ 30'\).

Áp dụng định lí sin vào ∆ABC ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}\)\( \Rightarrow \)AC = \(\sin \widehat {ABC}.\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}\)≈ 234,83 (m).

Trong tam giác vuông AHC có: \(\frac{{CH}}{{AC}} = \sin 45^\circ \)\( \Rightarrow \)CH = AC. sin 45° ≈ 166,05.

Vậy điểm pháo hoa nổ cao so với mặt đất khoảng 166,05 m.

Câu 6/12

Hai chiếc tàu thủy M và N cách nhau 500 m. Từ M và N thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta thấy chiều cao AB của tháp dưới một góc \(\widehat {AMB} = 30^\circ \); \(\widehat {ANB} = 45^\circ \).

Tính chiều cao AB của tháp.

A. 638 m;

B. 368 m;

C. 386 m;

D. 683 m.

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

\(\widehat {MNB} = 180^\circ - \widehat {BNA} = 135^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = 180^\circ - \widehat {BNM} - \widehat {BMN} = 15^\circ \)

Áp dụng định lí sin vào tam giác BMN ta có:

\(\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}} = \frac{{BN}}{{\sin \widehat {BMN}}}\)\( \Rightarrow BN = \sin \widehat {BMN}.\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}}\) ≈ 965,92 (m)

Xét tam giác BNA vuông tại A có: AB = BN. sin \(\widehat {BNA}\) ≈ 683 (m).

Câu 7/12