Bài tập Chứng minh dạng tam giác (vuông, nhọn, tù) lớp 10 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{4^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.4.6}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0\)

Do đó góc C là góc tù.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)

\({c^2} = {8^2} + {11^2} - 2.8.11.\cos 30^\circ = 185 - 88\sqrt 3 \)\( \Rightarrow c \approx 5,71\).

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \approx \frac{{{{11}^2} + {{5,71}^2} - {8^2}}}{{2.11.5,71}} \approx 0,71\).

\( \Rightarrow \widehat A \approx 44,5^\circ \).

Do đó: \(\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 105,5^\circ \).

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cách 1: Dễ thấy \[{c^2} = {a^2} + {b^2}\left( {{{15}^2} = {9^2} + {{12}^2}} \right)\]

Do đó theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại C.

Cách 2: Theo định lý côsin ta có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 0\).

Do đó: \(\widehat C = 90^\circ \).

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\)

\({b^2} = {10^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} - 2.10.5\sqrt 3 .\cos 30^\circ = 25\)

⇒ b = 5.

Nhận thấy \({5^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} = 100 = {10^2}\) hay b² + c² = a².

Theo định lý Pythagore đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo hệ quả của định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Do đó:

Nếu b² + c² – a² > 0  thì cos A > 0. Do đó góc A là góc nhọn.

Nếu b² + c² – a² < 0  thì cos A < 0. Do đó góc A là góc tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}} = \frac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra: \(\widehat A = 60^\circ \) hoặc \(\widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) mà \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \) (loại trường hợp \(\widehat A = 120^\circ \) do không thỏa mãn định lí tổng 3 góc trong tam giác).

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)\( \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{b}{a}\).

Lại có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) (hệ quả định lí côsin).

Để \(\frac{{\sin B}}{{\sin A}} = 2.\cos C\) \( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 2.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 0 \Leftrightarrow a = c\).

Do đó tam giác ABC cân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

Ta có: \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{{2abc}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}\); \(\frac{b}{{\cos B}} = \frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}\)

Để \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}}\)\( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2} \Leftrightarrow a = b\)

Do đó tam giác ABC là tam giác cân.