Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải

Ta có \(25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}\) nên ${\left(x-2005\right)}^2=\frac{25-y^2}{8}\left(1\right)$

Vì \(x,\,y\) là các số nguyên dương và \({\left( {x - 2005} \right)^2} \ge 0\) nên \(\left( 1 \right)\) suy ra \[0 < y \le 5\,;\,\,25 - {y^2} \in B\left( 8 \right).\]

Ta lập bảng sau:

Vậy \(x = 2005\,;\,\,y = 5\) thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Ta có: \({\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\)

Khi đó \({\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \le 0\) nên \({\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| = 0\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2021}}{{2022}} = 0\\y - \frac{{2022}}{{2023}} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{2021}}{{2022}}\\y = \frac{{2022}}{{2023}}\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(VT = \left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4\).

Ta có \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).

Do đó \(VP = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le 4\).

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}VT \ge 4\\VP \le 4\end{array} \right.\). Mà \(VT = VP\) nên \(VT = VP = 4\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) > 0\end{array} \right.\) nên \(x = - 1\).

Vậy \(x = - 1\).

Xét phương án 2, ta có: số tiền nhận ngày thứ nhất là 3 đồng; ngày thứ hai gấp ba lần ngày thứ nhất là 9 đồng, ngày thứ ba là \(9 \cdot 3\left( { = {3^3}} \right)\), ngày thứ tư là \({3^4}\), … ngày thứ 17 là \({3^{17}}\) (đồng).

Như vậy, số tiền công nhận được theo phương án 2 là:

\(T = 1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}\)

Có: \(3T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}}\)

Suy ra \(3T - T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - \left( {1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}} \right)\)

\(2T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - 1 - 3 - {3^2} - .... - {3^{17}}\)

\(2T = \left( {3 - 3} \right) + \left( {{3^2} - {3^2}} \right) + \left( {{3^3} - {3^3}} \right) + .... + \left( {{3^{17}} - {3^{17}}} \right) + {3^{18}} - 1\)

\(2T = {3^{18}} - 1\)

\(T = \frac{{{3^{18}} - 1}}{2} = 193{\rm{ }}710{\rm{ }}244\) (đồng).

Do đó, nên chọn phương án 2 để nhận được nhiều tiền công hơn.

Xét phương án 1, ta có:

Ngày thứ nhất trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2}\) số điện.

Ngày thứ hai trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2} \cdot 2 = 1\) (số điện).

Ngày thứ ba trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2} \cdot {2^2} = 2\) (số điện)

….

Ngày thứ mười lăm trường tiết kiệm được \(\frac{1}{2} \cdot {2^{14}} = {2^{13}}\) (số điện)

Do đó, sau mười lăm ngày, trường tiết kiệm được số điện là: \(S = \frac{1}{2} + 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{13}}\) (số điện).

Ta có: \(2S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{14}}\)

Do đó, \(2S - S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{14}} - \left( {\frac{1}{2} + 1 + 2 + ... + {2^{13}}} \right)\)

\(S = {2^{14}} - \frac{1}{2} = 16{\rm{ }}383,15\) (số điện)

Xét phương án 2, trường sẽ tiết kiệm được số điện là: \(65 \cdot 15 = 975\) (số điện).

Nhận thấy phương án 1 sẽ tiết kiệm được nhiều số điện hơn.

Do đó, nếu chọn phương án 1 thì trường sẽ tiết kiệm được số tiền là:

\(16383,5 \cdot 1{\rm{ }}000 = 16{\rm{ 383 }}500\) (đồng).

Gọi số câu trắc nghiệm bạn Nam đã giải trong đợt ôn thi là \(x,{\rm{ }}\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)\) và số câu bạn Nam đã trả lời đúng là \(y\) (câu).

Khi đó, theo đề bài, ta có: \(y + 2 = 76\% \cdot x\) và \(y = 75\% \cdot \left( {x - 2} \right)\).

Suy ra ta có: \(75\% \cdot \left( {x - 2} \right) + 2 = 76\% \cdot x\) hay \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 2 = \frac{{19}}{{25}}x\).

Suy ra \(\frac{{19}}{{25}}x - \frac{3}{4}x = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{1}{{100}} \cdot x = \frac{1}{2}\) nên \(x = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50\) (thỏa mãn).

Vậy trong đợt ôn thi, bạn Nam đã giải 50 câu trắc nghiệm.