Dạng 3: Đếm số chữ số

Ta chia số trang của cuốn sách thành 4 nhóm:

- Nhóm các số có một chữ số (từ trang 1 đến trang 9): Số chữ số cần dùng là 9.

- Nhóm các số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là: $\frac{\left(99-10\right)}{1}+1=90$ số

Số chữ số cần dùng là 90.2 = 180

- Nhóm sốc các số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999): Số trang sách là: $\frac{\left(999-100\right)}{1}+1=900$

Số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm nay là: 900.3 = 2700.

- Nhóm các số có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 1031):

Số trang sách là: $\frac{\left(1031-1000\right)}{1}+1=32$

Số chữ số cần dùng là: 32.4 = 128

Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang của cuốn sách đó là: 9 + 180 + 2700 + 128 = 3017

Nhận xét:

Việc chia các số trang thành các nhóm giúp chúng ta dễ dàng tính được số chữ số cần dùng trong mỗi nhóm, từ đó tính được tổng số chữ số cần dùng. Một câu hỏi ngược lại là: Nếu ta biết số chữ số cần dùng để đánh số trang của một cuốn sáchthì ta có thể tìm được số trang của cuốn sách đó hay không? Ta có bài toán ngược của ví dụ trên.

Để đánh các số trang có một chữ số (từ trang 1 đến trang 9), cần 9 chữ số.

Để đánh các số trang có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99, gồm 90 trang), cần 90.2 = 180 chữ số.

Để đánh các số trang có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 999, gồm 900 trang), cần 900.3 = 2700 chữ số

Vì 9 + 180 + 2700 = 2889 < 3897 nên cuốn sách có nhiều hơn 999 trang, tức là số trang của cuốn sách có nhiều hơn ba chữ số. Số chữ số còn lại là: 3897 – 2889 = 1008

Vì để đánh tất cả các số trang có bốn chữ số (từ trang 1000 đến trang 9999, gồm 9000 trang), cần 9000.4 = 36000 chữ số (vượt quá 1008 chữ số), nên số trang của cuốn sách là số có bốn chữ số.

Giả sử cuốn sách có n trang mà số trang có bốn chữ số. Số chữ số cần dùng để đánh n trang này là 4.n Ta có:  4.n = 1008 => n = 1008 : 4 = 252. Vì các trang này bắt đầu từ trang 1000 nên trang cuối cùng sẽ là 252 + 999 = 1251.

Vậy cuốn sách có 1251 trang

Nhận xét:

Trong cách giải trên, ta xét lần lượt nhóm các số trang có một chữ số, hai chữ số, … cho đến khi dùng hết chữ số mà bài cho. Vậy làm thế nào để biết số trang của cuốn sách có bao nhiêu chữ số?

Sau đây là một số gợi ý:

Với gợi ý trên, từ quy luật của phạm vi số các chữ số được cho ta có thể suy ra phạm vi số trang của cuốn sách. Chẳng hạn, nếu số chữ số được cho là 16789432, nằm trong phạm vi từ 5888890 đến 68888889, thì số trang cuối cùng của cuốn sách là số có bảy chữ số.

Ta chia số trang của cuốn sách thành 3 nhóm:

- Nhóm các số có một chữ số (từ trang 1 đến trang 9): Số chữ số cần dùng là 9.

- Nhóm các số có hai chữ số (từ trang 10 đến trang 99): Số trang sách là:

$\frac{\left(99-10\right)}{1}+1=90$ số.

Số chữ số cần dùng là 90.2 = 180.

- Nhóm sốc các số có ba chữ số (từ trang 100 đến trang 256):

Số trang sách là: $\frac{\left(256-100\right)}{1}+1=157$.

 Số chữ số cần dùng là: 157.3 = 471

 Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang của cuốn sách đó là: 9 + 180 + 471 = 660.

a, Ta có : Từ trang 1 đến trang 9 phải dùng 9 chữ số

Số trang có 2 chữ số là $\frac{\left(99-10\right)}{1}+1=90$ trang

Số chữ số cần dùng là: 90.2 = 180 chữ số

Số trang có 3 chữ số là: $\frac{\left(999-100\right)}{1}+1=900$

Số chữ số cần dùng để đánh hết trang có 3 chữ số là: 900.3 = 2700 chữ số.

Vì theo đề toán, tất cả phải dùng 1998 chữ số nên số trang sách còn lại chỉ gồm các trang có 3 chữ số. Vậy số chữ số còn lại để đánh dấu các trang sách có 3 chữ số là: 1998 – (180+9) = 1809 chữ số

Số trang có 3 chữ số là: 1809 : 3 = 603 (trang)
Vậy  cuốn sách có số trang là: 9 + 90 + 603 = 702 trang
b) Số thứ 1010 là chữ số nào?

Số chữ số để đánh số trang có 3 chữ số từ chữ số thứ 1010 là: 1010 – (9+180) = 821

ta nhận thấy 821 = 273.3 + 2

Vậy có 273 số có 3 chữ số được viết liên tiếp.

Số trang đã được viết liên tiếp là: 9 + 90 + 273 = 372 trang.

Vậy số thứ 1010 là chữ số 7 của trang 373

a, Các số chia hết cho 2 là 2; 4; …; 100

Số các số chia hết cho 2 là: $\frac{100-2}{2}+1=50$ số

Các số chia hết cho 2 và 3: 6; 12; 18; 24; …; 96

Số các số chia hết cho cả 2 và 3 là: $\frac{96-6}{6}+1=16$ số

Vậy từ 1 đến 100 có 50 – 16 = 34 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3

b, Các số chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; 15; …; 99

Số các số chia hết cho 3 là: $\frac{93-3}{3}+1=33$ số

Vậy các số chia cho ít nhất một trong hai số 2 và 3 là : 50 + 33 – 16 = 67 số

c, Các số không chia hết cho 2 và cho 3 là: 100 – 67 = 33 số