Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có hai tiêu điểm $F_1,F_2$. Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ $y_M$ dương thuộc elip (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $M{F}_1{F}_2$ bằng $\frac{4}{3}$. Khẳng định nào sau đây đúng? 

Phương trình elip cần tìm có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  4ab

Theo bài ra ta có $4ab=8\iff ab=2\iff a^2{b}^2=4$

Elip có $e=\frac{\sqrt{12}}{4}$ suy ra $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{12}}{4}$  Vì c,a>0 nên ta có

$\frac{c^2}{a^2}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\iff 3a^2-4c^2=0$

 Mặt khác ta có: $a^2-b^2=c^2$

Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}{a}^2{b}^2=4\\ 3a^2-4c^2=0\\ a^2-b^2=c^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}^2{b}^2=4\\ a^2-b^2=4\frac{3}{2}{a}^2\\ 3a^2=4c^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}^2{b}^2=4\\ a^2-4b^2=0\\ 3a^2=4c^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}^2=4\\ b^2=1\\ c^2=3\end{array}\right.$
Vậy elip có phương trình là $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$

Đáp án cần chọn là: B

Từ phương trình elip $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ta có $\left\{\begin{array}{c}a=5\\ b=3\\ c=\sqrt{a^2-b^2}=4\end{array}\right.$

Suy ra ta có:

1. (E) có các tiêu điểm $F_1(-4;0)$ và $F_2(4;0)$ nên (1) sai.

2. (E) có tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$ nên (2) đúng.

3. (E) có đỉnh $A_1(-5;0)$ nên (3) đúng.

4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 2b=6 nên (4) sai.

Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).

Đáp án cần chọn là: D