Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O′;R), OO'=4R. Trên đường tròn tâm O lấy (O) lấy hai điểm A,B sao cho AB=R3. Mặt phẳng (P) đi qua A,B cắt OO′ và tạo với đáy một góc bằng 600. (P) cắt k...

Câu hỏi:

04/08/2022 293

Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O′;R), $O O' = 4 R$ . Trên đường tròn tâm O lấy (O) lấy hai điểm A,B sao cho $A B = R \sqrt{3}$ . Mặt phẳng (P) đi qua A,B cắt OO′ và tạo với đáy một góc bằng 60⁰. (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:

A. $(\frac{4 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

B. $(\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

C. $(\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

D. $(\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tổng hợp về khối đa diện, khối tròn xoay !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

$O M = \sqrt{O A^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{3 R^{2}}{4}} = \frac{R}{2}$

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên $Δ I A B$ cân tại I, do đó $M I ⊥ A B$

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng $\hat{I M O} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông IMO có : $O I = O M . \tan 60 = \frac{R \sqrt{3}}{2} < \frac{O O^{'}}{2} = 2 R$

⇒I nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.Vậy hình chiếu của (P) trên (O;R′) là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và $Δ O A B$ (phần gạch chéo).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :

$\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{R^{2} + R^{2} - 3 R^{2}}{2 R^{2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A O B} = 120^{0}$

$\Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B . \sin 120 = \frac{1}{2} R^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$

Gọi $S_{\overset{⏜}{O A B}}$ là diện tích hình quạt $\Rightarrow S_{\overset{⏜}{O A B}} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2 π} . π R^{2} = \frac{2}{3} π R^{2}$

\Rightarrow S_{h c} = S_{\overset{⏜}{O A B}} + S_{Δ O A B} = \frac{2}{3} π R^{2} + R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :

S_{h c} = S . \cos 60 \Rightarrow S = \frac{S_{h c}}{\cos 60} = 2 (\frac{2}{3} π R^{2} + R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{4}{3} π R^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} R^{2}) = (\frac{4}{3} π + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}

Đáp án cần chọn là: C

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Ca (Canxi) có cấu trúc lập phương tâm diện, mỗi nguyên tử Ca có dạng hình cầu bán kính R. Một ô cơ sở của mạng tinh thể Ca là một hình lập phương có cạnh bằng a, mỗi mặt của hình lập phương chứa $\frac{1}{2}$ nguyên tử Ca và mỗi góc chứa $\frac{1}{8}$ nguyên tử Ca khác (Hình a, b)

A.68%

B.74%

C.72%

D.54%

Lời giải

Bước 1: Tính số nguyên tử Ca có trong một ô cơ sở

Số nguyên tử Ca trong một ô cơ sở gồm: 6 mặt mỗi mặt có $\frac{1}{2}$ khối cầu+8 góc $\frac{1}{8}$ khối cầu. Như thế số nguyên tử Ca là: $6. \frac{1}{2} + 8. \frac{1}{8} = 4$ nguyên tử.

Bước 2: Tính thể tích chiếm chỗ của Ca trong một ô cơ sở và thể tích của ô cơ sở.

Thể tích của 4 nguyên tử Ca là: $V_{C a} = 4. \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{16}{3} π R^{3}$

Thể tích của một khối lập phương là $V_{l p} = a^{3}$

Bước 3: Tính R theo a và độ đặc khít

Media VietJack

Theo hình vẽ ta thấy cạnh huyền: 4R, các cạnh góc vuông đều bằng a.

Theo định lý Pitago ta có:

{(4 R)}^{2} = a^{2} + a^{2}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16 R^{2} = 2 a^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 8 R^{2} \\ \Leftrightarrow a = 2 R \sqrt{2} \Rightarrow \frac{R}{a} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{array}

\Rightarrow \frac{V_{C a}}{V_{l p}} = \frac{\frac{16}{3} π . R^{3}}{a^{3}} = \frac{16}{3} π . {(\frac{R}{a})}^{3} = \frac{16 π}{3} . {(\frac{1}{2 \sqrt{2}})}^{3} \approx 0, 74 = 74 %

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{π a^{2} h}{9}$

B. $V = \frac{π a^{2} h}{3}$

C. $V = 3 π a^{2} h$

D. $V = \frac{π a^{2} h}{27}$

Lời giải

Media VietJack

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.

Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\frac{\sqrt{3} a}{3}$

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là $V = h . S = h . π . {(\frac{\sqrt{3} a}{3})}^{2} = \frac{π a^{2} h}{3}$ (đvtt).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là $20 \sqrt{3} π$ cm. Thể tích của cột bằng:

A. $13 000 π (c m^{3})$

B. $5000 π (c m^{3})$

C. $15 000 π (c m^{3})$

D. $52000 π (c m^{3})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a.

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{3 \sqrt{3}}$

C. $\frac{2 a}{3 \sqrt{3}}$

D. $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C); S A = a$ đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{B A C} = 60^{0}$ và $A B = \frac{a}{2}$ . Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.

A.Diện tích của (S) là $\frac{2 π a^{2}}{3}$ .

B.Tâm của (S) là trung điểm SC.

C.(S) có bán kính $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

D.Thể tích khối cầu là

\frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm,13cm,12cm. Một hình trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng

A. $V = 338 π c m^{3}$

B. $V = 386 π c m^{3}$

C. $V = 507 π c m^{3}$

D. $V = 338 c m^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là :

A. $32 \sqrt{3} (c m^{2})$

B. $16 \sqrt{3} (c m^{2})$

C. $32 \sqrt{5} (c m^{2})$

D. $16 \sqrt{5} (c m^{2})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

ĐHSP Hà Nội 2

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán