Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O′;R), OO'=4R. Trên đường tròn tâm O lấy (O) lấy hai điểm A,B sao cho AB=R3. Mặt phẳng (P) đi qua A,B cắt OO′ và tạo với đáy một góc bằng 600. (P) cắt k...

Câu hỏi:

04/08/2022 179

Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O′;R), $O O' = 4 R$ . Trên đường tròn tâm O lấy (O) lấy hai điểm A,B sao cho $A B = R \sqrt{3}$ . Mặt phẳng (P) đi qua A,B cắt OO′ và tạo với đáy một góc bằng 60⁰. (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:

A. $(\frac{4 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

B. $(\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

C. $(\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

Đáp án chính xác

D. $(\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tổng hợp về khối đa diện, khối tròn xoay !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

$O M = \sqrt{O A^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{3 R^{2}}{4}} = \frac{R}{2}$

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên $Δ I A B$ cân tại I, do đó $M I ⊥ A B$

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng $\hat{I M O} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông IMO có : $O I = O M . \tan 60 = \frac{R \sqrt{3}}{2} < \frac{O O^{'}}{2} = 2 R$

⇒I nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.Vậy hình chiếu của (P) trên (O;R′) là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và $Δ O A B$ (phần gạch chéo).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :

$\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{R^{2} + R^{2} - 3 R^{2}}{2 R^{2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A O B} = 120^{0}$

$\Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B . \sin 120 = \frac{1}{2} R^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$

Gọi $S_{\overset{⏜}{O A B}}$ là diện tích hình quạt $\Rightarrow S_{\overset{⏜}{O A B}} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2 π} . π R^{2} = \frac{2}{3} π R^{2}$

\Rightarrow S_{h c} = S_{\overset{⏜}{O A B}} + S_{Δ O A B} = \frac{2}{3} π R^{2} + R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :

S_{h c} = S . \cos 60 \Rightarrow S = \frac{S_{h c}}{\cos 60} = 2 (\frac{2}{3} π R^{2} + R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{4}{3} π R^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} R^{2}) = (\frac{4}{3} π + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}

Đáp án cần chọn là: C

Bình luận

Câu 1:

Ca (Canxi) có cấu trúc lập phương tâm diện, mỗi nguyên tử Ca có dạng hình cầu bán kính R. Một ô cơ sở của mạng tinh thể Ca là một hình lập phương có cạnh bằng a, mỗi mặt của hình lập phương chứa $\frac{1}{2}$ nguyên tử Ca và mỗi góc chứa $\frac{1}{8}$ nguyên tử Ca khác (Hình a, b)

A.68%

B.74%

C.72%

D.54%

Xem đáp án » 04/08/2022 3,517

Câu 2:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{π a^{2} h}{9}$

B. $V = \frac{π a^{2} h}{3}$

C. $V = 3 π a^{2} h$

D. $V = \frac{π a^{2} h}{27}$

Xem đáp án » 04/08/2022 1,354

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C); S A = a$ đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{B A C} = 60^{0}$ và $A B = \frac{a}{2}$ . Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.

A.Diện tích của (S) là $\frac{2 π a^{2}}{3}$ .

B.Tâm của (S) là trung điểm SC.

C.(S) có bán kính $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

D.Thể tích khối cầu là

\frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3}

Xem đáp án » 04/08/2022 1,147

Câu 4:

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là $20 \sqrt{3} π$ cm. Thể tích của cột bằng:

A. $13 000 π (c m^{3})$

B. $5000 π (c m^{3})$

C. $15 000 π (c m^{3})$

D. $52000 π (c m^{3})$

Xem đáp án » 04/08/2022 1,146

Câu 5:

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm,13cm,12cm. Một hình trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng

A. $V = 338 π c m^{3}$

B. $V = 386 π c m^{3}$

C. $V = 507 π c m^{3}$

D. $V = 338 c m^{3}$

Xem đáp án » 04/08/2022 861

Câu 6:

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a.

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{3 \sqrt{3}}$

C. $\frac{2 a}{3 \sqrt{3}}$

D. $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án » 04/08/2022 858

Câu 7:

Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là :

A. $32 \sqrt{3} (c m^{2})$

B. $16 \sqrt{3} (c m^{2})$

C. $32 \sqrt{5} (c m^{2})$

D. $16 \sqrt{5} (c m^{2})$

Xem đáp án » 04/08/2022 553

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C); S A = a$ đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{B A C} = 60^{0}$ và $A B = \frac{a}{2}$ . Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là $20 \sqrt{3} π$ cm. Thể tích của cột bằng:

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm,13cm,12cm. Một hình trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a.

Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là :

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC); SA=a đáy ABC là tam giác vuông tại B, BAC^=600 và AB=a2. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là 203πcm. Thể tích của cột bằng:

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm,13cm,12cm. Một hình trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a.

Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là :

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C); S A = a$ đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{B A C} = 60^{0}$ và $A B = \frac{a}{2}$ . Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là $20 \sqrt{3} π$ cm. Thể tích của cột bằng: