Bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước (biểu thức không đối xứng) lớp 9 (có lời giải)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)        (*)

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với giả thiết \(3{x_1} + 2{x_2} = 1\) ta có hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\\{{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) và (2) giải ra ta được: \({x_1} = 5;\,\,{x_2} = - 7\).

Thay vào (3) ta được :\(m = - 35\)(thỏa (*)). Vậy \(m = - 35\).

Có \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - {m^2} - 1} \right) = {m^2} + 5 > 0\,\forall m.\)

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]

Theo định lý Viét, ta có $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$=4$ ; $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ $=-m^2-1$

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - 5{x_1}\\{x_1} + {x_2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow - 5{x_1} + {x_1} = 4 \Rightarrow {x_1} = - 1 \Rightarrow {x_2} = 5.\)

Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {k - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - 4k} \right) = {\left( {k - 1} \right)^2} + 4k = {\left( {k + 1} \right)^2}\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(k \ne - 1\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\) \( = 2k - 2\), \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 4k\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3{x_1} - {x_2} = 2\\{x_1} + {x_2} = 2k - 2\end{array} \right. \Rightarrow 4{x_1} = 2k \Rightarrow {x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\)

Thay\({x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\) vào \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = - 4k\) , ta được

\(\frac{k}{2} \cdot \frac{{3k - 4}}{2} = - 4k \Leftrightarrow 3{k^2} + 12k = 0 \Leftrightarrow k = 0,k = - 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(k = 0,k = - 4\) là giá trị cần tìm.

Có \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( {m + 3} \right) = 6 - m.\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\)\( = 6\) , \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = m + 3\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = x_1^2\\{x_1} + {x_2} = 6\end{array} \right. \Rightarrow x_1^2 + {x_1} - 6 = 0 \Rightarrow {x_1} =  - 3 \Rightarrow {x_1} = 2.\)

  Với \({x_1} =  - 3 \Rightarrow {x_2} = 9\) thay vào \({x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m =  - 30\)(thỏa mãn)

  Với \({x_1} = 2 \Rightarrow {x_2} = 4\) thay vào \({x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m = 5\)(thỏa mãn)

Vậy \(m =  - 30;\)\(m = 5\)là giá trị cần tìm.

Xét phương trình :\({x^2} - 5x + m - 3 = 0\). Ta có:

\(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right) = 37 - 4m\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\,(luon\,dung)\\37 - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{{37}}{4}\).

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Vì \({x_1} + {x_2} = 5 \Rightarrow {x_2} = 5 - x\)

Ta có: \({x^2} - 5x + m - 3 = 0 \Leftrightarrow m - 3 = 5x - {x^2}\)

Mà \({x_1}\)là nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)nên \(m - 3 = 5{x_1} - x_1^2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 3} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {5{x_1} - x_1^2} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1 \Leftrightarrow x_1^2 - 10{x_1} + 2x_1^2 + 15 - 3{x_1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 - 13{x_1} + 14 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 \Rightarrow m - 3 = 5.2 - {2^2} \Leftrightarrow m = 9(tm)\\{x_1} = \frac{7}{3} \Rightarrow m - 1 = 5.\frac{7}{3} - {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{83}}{9}(tm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 9,m = \frac{{83}}{9}\)là các giá trị cần tìm .