Bài tập Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right..\)

Đáp án đúng là: A

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình –x² – 5x – 3 = 0 thì theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = - 5}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3}\end{array}} \right..\)

Đáp án đúng là: D

Do phương trình x² – 7x + 11 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = 7\\P = 11\end{array} \right.\)

Do đó S + P = 7 + 11 = 18.

Đáp án đúng là: C

Do phương trình –2x² – 100x + 301 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}S = - \frac{{ - 100}}{{ - 2}} = - 50\\P = \frac{{301}}{{ - 2}} = - 150,5\end{array} \right..\)

Do đó S² + P² = (–50)² + (–150,5)² = 25 150,25.

Đáp án đúng là: D

Do phương trình –x² – 50x + 1001 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 50}}{{ - 1}} = 50\\{x_1}{x_2} = \frac{{1001}}{{ - 1}} = - 1001\end{array} \right..\]

Ta có \[A = \frac{1}{{{x_1} + 3}} + \frac{1}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_2} + 3 + {x_1} + 3}}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}\]

\[ = \frac{{50 + 6}}{{ - 1001 + 3 \cdot 50 + 9}} = \frac{{ - 28}}{{421}}.\]

Đáp án đúng là: B

Do phương trình 9x² – 100x + 25 = 0 có hai nghiệm dương x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{100}}{9}\\{x_1}{x_2} = \frac{{25}}{9}\end{array} \right..\]

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{100}}{9}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{{25}}{9} = \frac{{9550}}{{81}}.\)

\({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = \frac{{100}}{9} + 2\sqrt {\frac{{25}}{9}} = \frac{{130}}{9}\)

Suy ra \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {\frac{{130}}{9}} = \frac{{\sqrt {130} }}{3}\) (vì \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} > 0)\)

Vậy \[B = \frac{{\frac{{9550}}{{81}}}}{{\frac{{\sqrt {130} }}{3}}} = \frac{{955\sqrt {130} }}{{351}}.\]

Đáp án đúng là: D

Do phương trình x² + 200x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 200\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)

Ta có:

⦁ |x₁ – x₂|² = (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = (–200)² – 4.(–1) = 40004.

Suy ra \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt {10001} .\)

⦁ \(x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 1 \cdot \left( { - 200} \right) = 200.\)

Vậy \(C = \frac{{100 \cdot 2\sqrt {10001} }}{{200}} = \sqrt {10001} .\)

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – x – 2 = 0 có ∆ = (–1)² – 4.1.(–2) = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right..\)

Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình trên trục số bằng

\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{1^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right)} = \sqrt 9 = 3.\)

Vậy ta chọn phương án B.