Bài tập Vận dụng tính chất của phép cộng phân thức, quy tắc dấu ngoặc để rút gọn biểu thức lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có P \( = \frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \frac{{3xy}}{{{x^3} - {y^3}}} + \frac{1}{{x - y}}\)

             \( = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)

             \( = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)

             \( = \frac{{{x^2} - {y^2} - 3xy + {x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{ - 2xy}}{{{x^3} - {y^3}}}\)

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

             \( = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\)

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(A = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

\( = \frac{{1 + x}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{1 - x}}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

\( = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^4}}} + \frac{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

\( = \frac{{2 + 2{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}\)

\( = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right)}}{{1 - {x^8}}} + \frac{{4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{1 - {x^8}}}\)

\( = \frac{{4 + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}}}{{1 - {x^8}}} = \frac{8}{{1 - {x^8}}}\).

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}\)

    \( = \frac{{z - x}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\)

   \( = \frac{{z - x + x - y + y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\)

   \( = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0\)

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có

 \(P = \frac{2}{{{x^2} - x}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{1 - {x^3}}}\)

\( = \frac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = - \frac{2}{{x\left( {1 - x} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = - \frac{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{4x.x}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = - \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}} + \frac{{4{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}\)

\( = \frac{{ - 2{x^2} - 2x - 2 + 2x - 2{x^2} + 4{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}\)

\( = - \frac{2}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}\)\( = \frac{2}{{x\left( {{x^3} - 1} \right)}}\).

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)

\( = \frac{{{x^2}.x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^3}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 2 + x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)= x + 1

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có

\(A = \frac{y}{{{x^2} - xy}} + \frac{x}{{{y^2} - xy}} = \frac{y}{{{x^2} - xy}} - \frac{x}{{xy - {y^2}}}\)

\( = \frac{y}{{x\left( {x - y} \right)}} - \frac{x}{{y\left( {x - y} \right)}} = \frac{{{y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{y\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{{y^2} - {x^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = - \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{xy\left( {x - y} \right)}}\)

\( = - \frac{{x + y}}{{xy}}\)

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

\(B = \frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{2}{{{y^2} - {x^2}}} + \frac{1}{{xy - {x^2}}}\)

\( = \frac{1}{{x\left( {x + y} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{x - y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} - \frac{{x + y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{x - y + 2x - x - y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2x - 2y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{2}{{x\left( {x + y} \right)}}\)

Do dó ta chọn đáp án B.