Câu hỏi:

05/08/2022 230

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc cạnh BB′ sao cho $M B = 2 M B' .$ Mặt phẳng $(α)$ đi qua M và vuông góc với AC′ cắt các cạnh DD′, DC, BC lần lượt tại N, P, Q. Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối đa diện CPQMNC′.Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V}$

A. $\frac{31}{162}$

B. $\frac{35}{162}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{34}{162}$

D, $\frac{13}{162}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi cạnh của hình lập phương là a.

Ta có:

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow (α) ∥ B D$ .Trong $(B D D^{'} B^{'})$ kẻ $M N ∥ B D (N \in D D^{'})$

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow α ∥ B^{'} C$ .Trong $(B C C^{'} B^{'})$ kẻ $M Q ∥ B^{'} C (Q \in B C)$

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow (α) ∥ B D$ .Trong $(B D D^{'} B^{'})$ kẻ $M N ∥ B D (N \in D D^{'})$

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow α ∥ B^{'} C$ . Trong $(A B C D)$ kẻ $P Q ∥ B D (P \in D C)$

Khi đó $(α) \equiv (M N P Q)$

Theo cách dựng ta có $B Q = 2 Q C, D P = 2 P C, D N = 2 N D^{'}$

Gọi H là điểm thuộc CC′ sao cho $C H = 2 H C^{'}$

Khi đó ta có: $V_{C P Q M N C^{'}} = V_{C . M H N} + V_{C Q P . M H N}$

Xét hình chóp $C^{'} . M H N$ có $C^{'} H = \frac{a}{3}, S_{Δ M H N} = \frac{1}{2} a^{2}$

\Rightarrow V_{C^{'} . M H N} = \frac{1}{3} C^{'} H . S_{Δ M H N} = \frac{1}{3} . \frac{a}{3} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{18} = \frac{V}{18}

Xét hình chóp cụt CQP.MHN có

\begin{array}{l} V_{C Q P . M H N} = V_{I . M H N} - V_{I . C Q P} = \frac{1}{3} (I H . S_{Δ M H N} - I C . S_{Δ C Q P}) \\ = \frac{1}{3} (a . \frac{1}{2} a^{2} - \frac{a}{3} . \frac{1}{2} . \frac{a}{3} . \frac{a}{3}) = \frac{13 a^{3}}{8} = \frac{13 V}{81} \end{array}

\Rightarrow V_{1} = V_{C P Q M N C^{'}} = V_{C . M H N} + V_{C Q P . M H N} = \frac{V}{18} + \frac{13 V}{81} = \frac{35 V}{162}

Vậy $\frac{V_{1}}{V} = \frac{35}{162}$

Đáp án cần chọn là: B

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $6 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{9} a^{3} .$

C. $2 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Xem đáp án » 05/08/2022 26,540

Câu 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 04/08/2022 4,036

Câu 3:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 13/07/2024 2,526

Câu 4:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Xem đáp án » 05/08/2022 2,490

Câu 5:

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án » 04/08/2022 2,083

Câu 6:

Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ABC)

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án » 05/08/2022 1,225

Câu 7:

Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC′ là a và 2 mặt bên (ACC′A′) và (BCC′B′) hợp với nhau góc 90⁰.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

C. $\frac{9 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

D. $\frac{27 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

Xem đáp án » 04/08/2022 1,052

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ABC)

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD=2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 300. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,ACB^=600, cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh AB=2a2. Biết AC'=8a và tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A'A=A'B=A'C=a712 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ABC)

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là: