Câu hỏi:

05/08/2022 279

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc cạnh BB′ sao cho $M B = 2 M B' .$ Mặt phẳng $(α)$ đi qua M và vuông góc với AC′ cắt các cạnh DD′, DC, BC lần lượt tại N, P, Q. Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối đa diện CPQMNC′.Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V}$

A. $\frac{31}{162}$

B. $\frac{35}{162}$

C. $\frac{34}{162}$

D, $\frac{13}{162}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi cạnh của hình lập phương là a.

Ta có:

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow (α) ∥ B D$ .Trong $(B D D^{'} B^{'})$ kẻ $M N ∥ B D (N \in D D^{'})$

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow α ∥ B^{'} C$ .Trong $(B C C^{'} B^{'})$ kẻ $M Q ∥ B^{'} C (Q \in B C)$

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow (α) ∥ B D$ .Trong $(B D D^{'} B^{'})$ kẻ $M N ∥ B D (N \in D D^{'})$

$(α) ⊥ A C^{'} \Rightarrow α ∥ B^{'} C$ . Trong $(A B C D)$ kẻ $P Q ∥ B D (P \in D C)$

Khi đó $(α) \equiv (M N P Q)$

Theo cách dựng ta có $B Q = 2 Q C, D P = 2 P C, D N = 2 N D^{'}$

Gọi H là điểm thuộc CC′ sao cho $C H = 2 H C^{'}$

Khi đó ta có: $V_{C P Q M N C^{'}} = V_{C . M H N} + V_{C Q P . M H N}$

Xét hình chóp $C^{'} . M H N$ có $C^{'} H = \frac{a}{3}, S_{Δ M H N} = \frac{1}{2} a^{2}$

\Rightarrow V_{C^{'} . M H N} = \frac{1}{3} C^{'} H . S_{Δ M H N} = \frac{1}{3} . \frac{a}{3} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{18} = \frac{V}{18}

Xét hình chóp cụt CQP.MHN có

\begin{array}{l} V_{C Q P . M H N} = V_{I . M H N} - V_{I . C Q P} = \frac{1}{3} (I H . S_{Δ M H N} - I C . S_{Δ C Q P}) \\ = \frac{1}{3} (a . \frac{1}{2} a^{2} - \frac{a}{3} . \frac{1}{2} . \frac{a}{3} . \frac{a}{3}) = \frac{13 a^{3}}{8} = \frac{13 V}{81} \end{array}

\Rightarrow V_{1} = V_{C P Q M N C^{'}} = V_{C . M H N} + V_{C Q P . M H N} = \frac{V}{18} + \frac{13 V}{81} = \frac{35 V}{162}

Vậy $\frac{V_{1}}{V} = \frac{35}{162}$

Đáp án cần chọn là: B

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $6 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{9} a^{3} .$

C. $2 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Lời giải

* Xác định $∠ ((A^{'} B D); (A B C D))$

+ $(A^{'} B C) \cap (A B C D) = B D$

+ $\{\begin{matrix} A A' ⊥ B D \\ A O ⊥ B D \end{matrix} \Rightarrow (A' A O) ⊥ B D$

+ $\{\begin{matrix} (A' A O) \cap (A' B D) = A' O \\ (A' A O) \cap (A B C D) = A O \end{matrix}$

$\Rightarrow ∠ ((A^{'} B D); (A B C D)) = ∠ (A^{'} O; A O) = ∠ A^{'} O A$

$\Rightarrow ∠ A^{'} O A = 30^{0}$

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D = a$

$\Rightarrow A A^{'} = \tan 30^{0} . A O = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A A^{'} = \frac{1}{2} A C . B D . A A^{'}$

$= \frac{1}{2} . {(2 a)}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Media VietJack

Vì $A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow A B$ là hình chiếu vuông góc của A′B lên

(A B C) \Rightarrow \hat{(A^{'} B; (A B C))} = \hat{(A^{'} B; A B)} = \hat{A^{'} B A} = 30^{0}

Xét tam giác vuông ABC có $A B = B C . \tan 60 = a \sqrt{3}$

$A A^{'} ⊥ (A B C) \supset A B \Rightarrow A A^{'} ⊥ A B \Rightarrow Δ A B A^{'}$ vuông tại A

$\Rightarrow A A^{'} = A B . \tan \hat{A^{'} B A} = a \sqrt{3} . \tan 30 = a \sqrt{3} . \frac{1}{\sqrt{3}} = a$

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC′ là a và 2 mặt bên (ACC′A′) và (BCC′B′) hợp với nhau góc 90⁰.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

C. $\frac{9 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

D. $\frac{27 a^{3} \sqrt{2}}{8}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD=2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 300. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,ACB^=600, cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có AB=a, đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A'A=A'B=A'C=a712 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh AB=2a2. Biết AC'=8a và tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?