Câu hỏi:

05/08/2022 1,859

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′. Các mặt phẳng (ABC′) và (A′B′C) chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu H₁, H₂ lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Giá trị của $\frac{V_{(H_{1})}}{V_{(H_{2})}}$ bằng

A.4

B.2

C.5

D.3

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bước 1:

Gọi E là giao điểm của AC và AC’ và F là giao điểm của BC’ và B’C’

Khi đó (ABC’) và (A’B’C) chia khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ thành 4 khối đa diện: CEFC’;FEA’B’C’;FEABC và FEABB’A’

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’.

Media VietJack

Bước 2: Tính thể tích của $C E F C^{'}; F E A^{'} B^{'} C^{'}; F E A B C$ và $F E A B B^{'} A^{'}$ theo thể tích của $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$

Ta có $V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} = V_{C^{'} . A B C} = \frac{1}{3} V$

$V_{F E A^{'} B^{'} C^{'}} = V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{C E F C^{'}}$ và $V_{F E A B C} = V_{C^{'} . A B C} - V_{C E F C^{'}}$

\Rightarrow V_{F E A^{'} B^{'} C^{'}} = V_{F E A B C}

Mặt khác

\begin{array}{l} \frac{V_{C E F C^{'}}}{V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{C E}{C A} . \frac{C F}{C B^{'}} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow V_{C E F C^{'}} = \frac{1}{4} V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{4} . \frac{1}{3} V = \frac{1}{12} V \end{array}

\Rightarrow V_{F E A^{'} B^{'} C^{'}} = V_{F E A B C} = V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{C E F C^{'}} = \frac{1}{3} V - \frac{1}{12} V = \frac{1}{4} V

\Rightarrow V_{F E A B B^{'} A^{'}} = V - 2. \frac{1}{4} V - \frac{1}{12} V = \frac{5}{12} V

Do đó $H_{1}$ có thể tích lớn nhất là khối đa diện FEABB’A’; $H_{2}$ có thể tích nhỏ nhất là khối đa diện CEFC’ và $\frac{V_{(H_{1})}}{V_{(H_{2})}} = 5$

Đáp án cần chọn là: C

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $6 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{9} a^{3} .$

C. $2 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Lời giải

* Xác định $∠ ((A^{'} B D); (A B C D))$

+ $(A^{'} B C) \cap (A B C D) = B D$

+ $\{\begin{matrix} A A' ⊥ B D \\ A O ⊥ B D \end{matrix} \Rightarrow (A' A O) ⊥ B D$

+ $\{\begin{matrix} (A' A O) \cap (A' B D) = A' O \\ (A' A O) \cap (A B C D) = A O \end{matrix}$

$\Rightarrow ∠ ((A^{'} B D); (A B C D)) = ∠ (A^{'} O; A O) = ∠ A^{'} O A$

$\Rightarrow ∠ A^{'} O A = 30^{0}$

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D = a$

$\Rightarrow A A^{'} = \tan 30^{0} . A O = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A A^{'} = \frac{1}{2} A C . B D . A A^{'}$

$= \frac{1}{2} . {(2 a)}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của B′C′. Vì $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ đều nên $A^{'} M ⊥ B^{'} C^{'}$

Ta có: $\{\begin{matrix} A' M ⊥ B' C' \\ A' M ⊥ B B' (B B' ⊥ (A' B' C')) \end{matrix} \Rightarrow A^{'} M ⊥ (B C C^{'} B^{'})$

⇒BM là hình chiếu của A′M lên (BCC′B′)

$\Rightarrow ∠ (A^{'} B; (B C C^{'} B^{'})) = ∠ (A^{'} B; M B) = ∠ A^{'} B M = 30^{0}$

Theo bài ra ta có $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ đều cạnh a nên $A^{'} M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và $S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Ta có: $A^{'} M ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow A^{'} M ⊥ B M \Rightarrow Δ A^{'} B M$ vuông tại M

\Rightarrow B M = A^{'} M . \cot 30^{0} = \frac{3 a}{2}

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BB′M ta có:

B B^{'} = \sqrt{B M^{2} - B B^{' 2}} = \sqrt{{(\frac{3 a}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = a \sqrt{2}

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = B B^{'} . S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = a \sqrt{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, $A B = B C = a .$ . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC′) và (AB′C′) bằng 60⁰ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B′.ACC′A′ bằng

A. $\frac{a^{3}}{3} .$

B. $\frac{a^{3}}{6} .$

C. $\frac{a^{3}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, $A B = B C = a .$ . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC′) và (AB′C′) bằng 60⁰ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B′.ACC′A′ bằng