Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^4+x}{x^2+x}khix\ne 0,x\ne -1\\ 3khix=-1\\ 1khix=0\end{array}\right.$

$f\left(x\right)=x^4-4x$ luôn liên tục trên $ℝ$

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x-1$ là hàm đa thức có tập xác định là $ℝ$ nên liên tục trên $ℝ$. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng $\left(-2;-1\right),\left(-1;0\right),\left(0;2\right).$

Ta có
$\left\{\begin{array}{c}f(-2)=-3\\ f(-1)=1\end{array}\Rightarrow f(-2)f(-1)<0\right.$ ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc $\left(-2;-1\right).$

$\left\{\begin{array}{c}f(-1)=1\\ f\left(0\right)=-1\end{array}\right.\Rightarrow f(-1)f\left(0\right)<0$ ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc (−1;0)

$\left\{\begin{array}{c}f\left(2\right)=1\\ f\left(0\right)=-1\end{array}\right.\Rightarrow f\left(2\right)f\left(0\right)<0$ ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2).
Như vậy phương trình (1)  có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng (−2;2).

Tuy nhiên phương trình $f\left(x\right)=0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.

Vậy phương trình $f\left(x\right)=0$ có đúng 3 nghiệm trên $ℝ$.

Đáp án cần chọn là: D