Câu hỏi:

21/07/2022 2,754

Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $(a > x > 0) .$ Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

A. $x = \frac{a}{π + 4} (cm)$

B. $x = \frac{2 a}{π + 4} (cm)$

C. $x = \frac{π a}{π + 4} (cm)$

D. $x = \frac{4 a}{π + 4} (cm)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $(0 < x < a) .$ Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a − x.

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2 π r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2 π}$
Do đó diện tích hình tròn là: $S_{1} = π . r^{2} = \frac{x^{2}}{4 π}$

Chu vi hình vuông là $a - x \Rightarrow$ Cạnh hình vuông là $\frac{a - x}{4}$ Do đó diện tích hình vuông:

$S_{2} = {(\frac{a - x}{4})}^{2}$

Tổng diện tích hai hình:

$\begin{array}{l} S = \frac{x^{2}}{4 π} + {(\frac{a - x}{4})}^{2} \\ = \frac{4 x^{2} + π {(a - x)}^{2}}{16 π} \\ = \frac{(4 + π) . x^{2} - 2 a π x + π a^{2}}{16 π} \end{array}$

Xét hàm số $S (x) = \frac{(4 + π) . x^{2} - 2 a π x + π a^{2}}{16 π}$ ta có:

$S^{'} (x) = \frac{2 (4 + π) . x - 2 a π}{16 π} = \frac{(4 + π) . x - a π}{8 π}$

Cho $S^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (4 + π) x - a π = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a π}{4 + π}$ Ta có BBT như sau :

Media VietJack

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x = \frac{a π}{4 + π}$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{a π}{4 + π}$
Đáp án cần chọn là: C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty) .$

A.2

B.1

C.Vô số

D.3

Lời giải

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

Ta có

= m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0

khi đó phương trình

y^{'} = 0

có 2 nghiệm phân biệt

[\begin{matrix} x_{1} = m + 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{matrix}

Ta có BBT:

Media VietJack

Ta có:

$\begin{array}{l} f (m - 1) = m^{3} - 3 m + 2022 \\ f (m + 1) = m^{3} - 3 m + 2018 \end{array}$

TH1: $0 < m - 1 \Leftrightarrow m > 1$

Ta có: $f (0) = 2020$

Để hàm số có GTNN trên $(0; + \infty)$ thì

$f (m + 1) \leq f (0) \Leftrightarrow m^{3} - 3 m + 2018 \leq 2020 \Leftrightarrow m^{3} - 3 m - 2 \leq 0$

Xét hàm số $f (m) = m^{3} - 3 m - 2$ ta có $f^{'} (m) = 3 m^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BT ta thấy $f (m) \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 1 < m \leq 2$

TH2: $m - 1 \leq 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \leq 1$ khi đó hàm GTNN của hàm số trên $(0; + \infty)$ là $f (m + 1)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có:

[\begin{matrix} 1 < m \leq 2 \\ - 1 < m \leq 1 \end{matrix}

.Mà

m \in ℤ \Rightarrow m \in \{0; 1; 2\}

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Trên đoạn $[0; 3],$ hàm số $y = - x^{3} + 3 x$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm

A. $x = 0$

B. $x = 3$

C. $x = 1$

D. $x = 2$

Lời giải

Khảo sát hàm số $y = - x^{3} + 3 x$ trên $[0; 3]$

$y^{'} = - 3 x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

+ BBT:

Media VietJack

⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = f (x^{3} + 2 x) + m$ . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[0; 1]$ bằng 9 là:

A.m=10

B.m=6

C.m=12

D.m=8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm điều kiện của tham số mm để $m < f (x) + x^{2}$ với mọi $x \in (1; 2) .$

A. $m \leq f (2) + 4$

B. $m < f (1) + 1$

C. $m < f (2) + 4$

D. $m \leq f (1) + 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình dưới. Gọi a,A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x+1) trên đoạn $[- 1; 0] .$ Giá trị $a + A$ bằng:

A.−1

B.2

C.0

D.3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Nhà xe khoán cho hai tài xế ta-xi An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để hai tài xế chạy tiêu thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ hết 10 lít xăng?

A.20 ngày.

B.15 ngày.

C.10 ngày

D.25 ngày

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học