Câu hỏi:

23/07/2022 523

Cho x,y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$ .

A. 1

B. $\frac{3}{4}$

C. $- \frac{3}{4}$

D. 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} 2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1 \\ \Leftrightarrow 2^{x + y} (3^{x + y} + 1) = 6 x + 6 x + 2 \\ \Leftrightarrow 6^{x + y} + 2^{x + y} = 6 (x + y) + 2 \end{array}$

Đặt $x + y = t$ phương trình trở thành $6^{t} + 2^{t} = 6 t + 2 \Leftrightarrow 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2 = 0$

Xét hàm số $f (t) = 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2$ ta có:

$\begin{array}{l} f^{'} (t) = 6^{t} . \ln 6 + 2^{t} . \ln 2 - 6 \\ f^{''} (t) = 6^{t} \ln^{2} 6 + 2^{t} . \ln^{2} 2 > 0 \forall t \in ℝ \end{array}$

Do đó hàm số $y = f^{'} (t)$ đồng biến trên $ℝ$ , suy ra phương trình f′(t)=0f′(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có: $\{\begin{matrix} f (0) = 6^{0} + 2^{0} - 6.0 - 2 = 0 \\ f (1) = 6^{1} + 2^{1} - 6.1 - 2 = 0 \end{matrix}$ do đó phương trình $f (t) = 0$ có đúng hai nghiệm $t = 0, t = 1$

$\Leftarrow [\begin{matrix} x + y = 0 \\ x + y = 2 \end{matrix}$

TH1: $x + y = 0 \Rightarrow y = - x$

Thay vào P ta có: $P = x^{2} + x y + y^{2} = x^{2} \geq 0$

TH2: $x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x$

Thay vào P ta có:

$\begin{array}{l} P = x^{2} + x (1 - x) + {(1 - x)}^{2} \\ = x^{2} - x + 1 \\ = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi $x + y = 0$
Đáp án cần chọn là: D

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty) .$

A.2

B.1

C.Vô số

D.3

Lời giải

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

Ta có

= m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0

khi đó phương trình

y^{'} = 0

có 2 nghiệm phân biệt

[\begin{matrix} x_{1} = m + 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{matrix}

Ta có BBT:

Media VietJack

Ta có:

$\begin{array}{l} f (m - 1) = m^{3} - 3 m + 2022 \\ f (m + 1) = m^{3} - 3 m + 2018 \end{array}$

TH1: $0 < m - 1 \Leftrightarrow m > 1$

Ta có: $f (0) = 2020$

Để hàm số có GTNN trên $(0; + \infty)$ thì

$f (m + 1) \leq f (0) \Leftrightarrow m^{3} - 3 m + 2018 \leq 2020 \Leftrightarrow m^{3} - 3 m - 2 \leq 0$

Xét hàm số $f (m) = m^{3} - 3 m - 2$ ta có $f^{'} (m) = 3 m^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BT ta thấy $f (m) \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 1 < m \leq 2$

TH2: $m - 1 \leq 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \leq 1$ khi đó hàm GTNN của hàm số trên $(0; + \infty)$ là $f (m + 1)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có:

[\begin{matrix} 1 < m \leq 2 \\ - 1 < m \leq 1 \end{matrix}

.Mà

m \in ℤ \Rightarrow m \in \{0; 1; 2\}

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Trên đoạn $[0; 3],$ hàm số $y = - x^{3} + 3 x$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm

A. $x = 0$

B. $x = 3$

C. $x = 1$

D. $x = 2$

Lời giải

Khảo sát hàm số $y = - x^{3} + 3 x$ trên $[0; 3]$

$y^{'} = - 3 x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

+ BBT:

Media VietJack

⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = f (x^{3} + 2 x) + m$ . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[0; 1]$ bằng 9 là:

A.m=10

B.m=6

C.m=12

D.m=8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Nhà xe khoán cho hai tài xế ta-xi An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để hai tài xế chạy tiêu thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ hết 10 lít xăng?

A.20 ngày.

B.15 ngày.

C.10 ngày

D.25 ngày

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm điều kiện của tham số mm để $m < f (x) + x^{2}$ với mọi $x \in (1; 2) .$

A. $m \leq f (2) + 4$

B. $m < f (1) + 1$

C. $m < f (2) + 4$

D. $m \leq f (1) + 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình dưới. Gọi a,A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x+1) trên đoạn $[- 1; 0] .$ Giá trị $a + A$ bằng:

A.−1

B.2

C.0

D.3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi M,N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$ .

A. $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{256}{27}$

C. 3

D. $\sqrt{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho x,y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$ .

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty) .$

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Trên đoạn $[0; 3],$ hàm số $y = - x^{3} + 3 x$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = f (x^{3} + 2 x) + m$ . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[0; 1]$ bằng 9 là:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm điều kiện của tham số mm để $m < f (x) + x^{2}$ với mọi $x \in (1; 2) .$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình dưới. Gọi a,A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x+1) trên đoạn $[- 1; 0] .$ Giá trị $a + A$ bằng:

Gọi M,N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$ .