Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(\left|\frac{3sinx-cosx-1}{2cosx-sinx+4}\right|\right)=f(m^2+4m+4)$ có nghiệm?

Vì $-1\le \sin x\le 1;-1\le \cos x\le 1$ nên $2\cos x-\sin x>-3\Rightarrow 2\cos x-\sin x+4>0$

Đặt $\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}=t\iff 3\sin x-\cos x-1=t\left(2\cos x-\sin x+4\right)$

$\iff \cos x\left(2t+1\right)-\sin x\left(t+3\right)=-4t-1$

Phương trình trên có nghiệm khi ${\left(2t+1\right)}^2+{\left(t+3\right)}^2\ge {\left(-4t-1\right)}^2$

$\iff 5t^2+10t+10\ge 16t^2+8t+1$

$\iff 11t^2-2t-9\le 0\iff -\frac{9}{11}\le t\le 1\Rightarrow 0\le \left|t\right|\le 1$

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số f(x) đồng biến trên (0;1)

Nên phương trình $f\left(x\right)=f\left(\left|t\right|\right)$  với $t\in \left[0;1\right]$ có nghiệm duy nhất khi $x=\left|t\right|\Rightarrow 0\le x\le 1$

Do đó phương trình $f\left(\left|\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|\right)=f\left(m^2+m+4\right)$ có nghiệm

$\iff \left|t\right|=m^2+4m+4$ có nghiệm với $0\le \left|t\right|\le 1$

$\iff 0\le m^2+4m+4\le 1\iff {\left(m+2\right)}^2\le 1\iff -3\le m\le -1$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-3;-2;-1\right\}$. Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.

Mình cần đánh giá cho biểu thức này em nhé : $\left(2\cos x-\sin x+4\right)$
Mục đích đánh giá là để có thể quy đồng sau khi đặt t. Từ đó tìm điều kiện cho t.

Đáp án cần chọn là: D