Câu hỏi:

03/08/2022 265

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là $α$ . Tính $c o s α$ biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

A. $2 - \sqrt{3}$

B. $2 \sqrt{3} - 3$

Đáp án chính xác

C. $3 - 2 \sqrt{3}$

D. $\sqrt{2} - 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên $C M ⊥ A B, D M ⊥ A B$

Ta có : $\{\begin{matrix} (A B C) \cap (A B D) = A B \\ C M ⊥ A B, C M \subset (A B C) \\ D M ⊥ A B, D M \subset (A B D) \end{matrix} \Rightarrow ∠ ((A B C); (A B D)) = ∠ (C M; D M)$

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

\begin{array}{l} C M^{2} = A C^{2} - A M^{2} \\ \Rightarrow C M = \sqrt{A C^{2} - A M^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \end{array}

Tương tự $D M = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên $I K = I M = I N, I K ⊥ A D$ .

Xét tam giác AMI và AKI có :

\begin{array}{l} \hat{A M I} = \hat{A K I} = 90^{0}; \\ A I c h u n g; \\ I M = I K (c m t); \end{array}

Do đó $Δ A M I = Δ A K I$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow A K = A M = \frac{a}{2}$ (cạnh tương ứng).

Tương tự : $Δ D N I = Δ D K I$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\begin{array}{l} \Rightarrow D N = D K = A D - A K = \frac{a \sqrt{3}}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a (\sqrt{3} - 1)}{2} \\ \Rightarrow D C = 2 D N = 2. \frac{a (\sqrt{3} - 1)}{2} = a (\sqrt{3} - 1) \end{array}

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

\begin{array}{l} \cos \hat{C M D} = \frac{M C^{2} + M D^{2} - C D^{2}}{2 M C . M D} \\ = \frac{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} - {(a (\sqrt{3} - 1))}^{2}}{2. \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2}} \\ = 2 \sqrt{3} - 3 > 0 \\ \Rightarrow \cos α = \cos \hat{C M D} = 2 \sqrt{3} - 3 \end{array}

Đáp án cần chọn là: B

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)

A.771

B.385

C.603

D.905

Xem đáp án » 04/08/2022 3,834

Câu 2:

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1,2,4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.

A.6

B.14

C.12

D.10

Xem đáp án » 04/08/2022 3,546

Câu 3:

Cho một hình hộp chữ nhật kích thước $4 \times 4 \times h$ chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và 8 khối cầu nhỏ có bán kính bằng 1. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với các mặt của hình hộp (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối hộp bằng

A. $32 + 32 \sqrt{5}$

B. $48 + 32 \sqrt{7}$

C. $32 + 64 \sqrt{2}$

D. $32 + 32 \sqrt{7}$

Xem đáp án » 04/08/2022 3,150

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $9 π a^{3}$

B. $\frac{9 π a^{3}}{2}$

C. $\frac{9 π a^{3}}{8}$

D. $36 π a^{3}$

Xem đáp án » 03/08/2022 1,589

Câu 5:

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng

A. $144 π$

B. $36 π$

C. $288 π$

D. $48 π$

Xem đáp án » 03/08/2022 894

Câu 6:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có $A A ’ = 2 a, B C = a$ . Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:

A. $\frac{3 \sqrt{3} a}{8}$

B. $\frac{\sqrt{13} a}{2}$

C. $\frac{\sqrt{21} a}{6}$

D. $\frac{2 \sqrt{3} a}{3}$

Xem đáp án » 03/08/2022 762

Câu 7:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

A. $\frac{a \sqrt{6}}{12}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{8}$

Xem đáp án » 03/08/2022 697

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là $α$ . Tính $c o s α$ biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có $A A ’ = 2 a, B C = a$ . Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =a32. Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là α . Tính cosα biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA⊥(ABCD) và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ =2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là $α$ . Tính $c o s α$ biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có $A A ’ = 2 a, B C = a$ . Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng: