Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; $\angle BAC={120}^0$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.

Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.

Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và

$AM\perp BC\Rightarrow AH\perp BC$  (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi $\Rightarrow HB=HC$

Xét tam giác ABH có AB = BH, $\angle BAH=\frac{1}{2}\angle BAC={60}^0$ nên là tam giác đều, do đó HA = HB.

Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.

Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.

Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.

$\Rightarrow \text{Δ}AHI=\text{Δ}{A}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}I$ (2 cạnh góc vuông) =>IA = IA′. Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.

Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có:

$AI=\sqrt{A{H}^2+H{I}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là $R=2\sqrt{2}$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi .{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=32\pi$

Đáp án cần chọn là: C