Bài tập: So sánh phân số

Câu 1:

So sánh hai phân số:
$a) \frac{1}{3} v à \frac{2}{3}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{3}{4} v à \frac{3}{2};$
$c) \frac{2}{- 5} v à \frac{3}{5}; \begin{matrix} \end{matrix} d) \frac{- 7}{3} v à \frac{- 7}{4}$

Xem đáp án »

$a) \frac{1}{3} < \frac{2}{3} \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{3}{2} > \frac{3}{4}$

c) ta có $\frac{- 2}{5} < 0; \frac{3}{5} > 0 = > \frac{- 2}{5} < \frac{3}{5}$

d) ta có $\frac{7}{3} > \frac{7}{4} = > \frac{- 7}{3} < \frac{- 7}{4}$

Câu 2:

So sánh hai phân số:
$a) \frac{1}{4} v à \frac{3}{4}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{4}{5} v à \frac{4}{3};$
$c) \frac{4}{- 6} v à \frac{5}{6}; \begin{matrix} \end{matrix} d) \frac{- 8}{5} v à \frac{- 8}{7};$

Xem đáp án »

$a) \frac{1}{3} < \frac{3}{4}$

$b) \frac{4}{5} < \frac{4}{3}$

$c) \frac{4}{- 6} < \frac{5}{6}$

$d) \frac{- 8}{5} < \frac{- 8}{7}$

Câu 3:

So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu:
$a) \frac{1}{3} v à \frac{5}{6}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{4}{5} v à \frac{3}{7};$
$c) \frac{- 3}{11} v à \frac{- 4}{13}; \begin{matrix} \end{matrix} d) \frac{- 5}{6} v à \frac{63}{- 70};$

Xem đáp án »

a) $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}; \frac{2}{6} < \frac{5}{6} = > \frac{1}{3} < \frac{5}{6}$

$b) \frac{4}{5} > \frac{3}{7} c) \frac{- 3}{11} > \frac{- 4}{13}$

d) $\frac{- 63}{70} = \frac{- 9}{10}$

Qui đồng ta được : $\frac{- 9}{10} = \frac{- 27}{30}; \frac{- 5}{6} = \frac{- 25}{30} = > \frac{- 5}{6} > \frac{63}{- 70}$

Câu 4:

So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu:
$\begin{array}{l} a) \frac{1}{2} v à \frac{5}{6}; \\ b) \frac{4}{7} v à \frac{5}{9}; \\ c) \frac{- 3}{7} v à \frac{- 4}{9}; \\ d) \frac{- 7}{8} v à \frac{35}{- 42}; \end{array}$

Xem đáp án »

$\begin{array}{l} a) \frac{1}{2} < \frac{5}{6} \\ b) \frac{4}{7} > \frac{5}{9}; \\ c) \frac{- 3}{7} > \frac{- 4}{9} \\ d) \frac{- 7}{8} < \frac{35}{- 42} \end{array}$

Câu 5:

So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử
$\begin{array}{l} a) \frac{3}{4} v à \frac{6}{7}; \\ b) \frac{17}{- 21} v à \frac{51}{- 31}; \\ c) \frac{- 4}{9} v à \frac{- 3}{13}; \\ d) \frac{- 4}{- 11} v à \frac{- 6}{- 19}; \end{array}$

Xem đáp án »

$a) \frac{3}{4} = \frac{6}{8} < \frac{6}{7} b) \frac{17}{- 21} = \frac{51}{- 63} > \frac{51}{- 31}$

$c) \frac{- 4}{9} = \frac{12}{27} < \frac{- 12}{52} = \frac{- 3}{13} d) \frac{- 4}{- 11} = \frac{12}{33} > \frac{12}{38} = \frac{- 6}{- 19}$

Câu 6:

So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử
$\begin{array}{l} a) \frac{2}{3} v à \frac{4}{5}; \\ b) \frac{13}{- 27} v à \frac{39}{- 37}; \\ c) \frac{- 3}{7} v à \frac{- 2}{9}; \\ d) \frac{- 2}{- 7} v à \frac{- 5}{- 17}; \end{array}$

Xem đáp án »

$\begin{array}{l} a) \frac{2}{3} < \frac{4}{5} \\ b) \frac{13}{- 27} > \frac{39}{- 37}; \\ c) \frac{- 3}{7} < \frac{- 2}{9} \\ d) \frac{- 2}{- 7} < \frac{- 5}{- 17} \end{array}$

Câu 7:

So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù (hoặc phần hơn) với 1:
$\begin{array}{l} a) \frac{26}{27} v à \frac{96}{97}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{102}{103} v à \frac{103}{105}; \\ c) \frac{2017}{2016} v à \frac{2019}{2018}; \begin{matrix} \end{matrix} d) \frac{73}{64} v à \frac{51}{45}; \end{array}$

Xem đáp án »

a) Ta có: $1 - \frac{26}{27} = \frac{1}{27}; 1 - \frac{96}{97} = \frac{1}{97}$ . Vì $\frac{1}{27} > \frac{1}{97}$ nên $\frac{26}{27} < \frac{96}{97}$

b) Ta có: $1 - \frac{102}{103} = \frac{1}{103}; 1 - \frac{103}{105} = \frac{2}{105}$ . Vì $\frac{1}{103} = \frac{2}{206} < \frac{2}{105} n ê n \frac{102}{103} > \frac{103}{105}$

c) Ta có :

$\begin{array}{l} \frac{2017}{2016} = 1 + \frac{1}{2016}; \frac{2019}{2018} = 1 + \frac{1}{2018} . \\ V ì \frac{1}{2016} > \frac{1}{2018} n ê n \frac{2017}{2016} > \frac{2019}{2018} \end{array}$

d) $\frac{73}{64} > \frac{51}{45}$

$T a c ó : \frac{73}{64} = 1 + \frac{9}{64}; \frac{51}{45} = 1 + \frac{6}{45} .$

$\begin{array}{l} V ì \frac{9}{64} = \frac{18}{128} > \frac{6}{45} = \frac{18}{135} n ê n \frac{73}{64} > \frac{51}{45} \end{array}$

Câu 8:

So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù (hoặc phần hơn) với 1:
$\begin{array}{l} a) \frac{22}{23} v à \frac{16}{17}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{64}{65} v à \frac{45}{47}; \\ c) \frac{199}{198} v à \frac{200}{199}; \begin{matrix} \end{matrix} d) \frac{61}{58} v à \frac{73}{72}; \end{array}$

Xem đáp án »

$\begin{array}{l} a) \frac{22}{23} > \frac{16}{77}; \\ b) \frac{64}{65} > \frac{45}{47}; \\ c) \frac{199}{198} > \frac{200}{199}; \\ d) \frac{61}{58} > \frac{73}{72} . \end{array}$

Câu 9:

So sánh hai phân số bằng cách dùng số trung gian:
$a) \frac{16}{- 19} v à \frac{15}{17};$ $b) \frac{419}{- 723} v à \frac{- 697}{- 313};$
$c) \frac{311}{256} v à \frac{199}{203};$ $d) \frac{30}{235} v à \frac{168}{1323};$
$e) \frac{19}{60} v à \frac{31}{90};$ $f) \frac{15}{23} v à \frac{70}{117};$

Xem đáp án »

$a) \frac{16}{- 19} < 0 < \frac{15}{17} b) \frac{419}{- 723} < 0 < \frac{- 697}{- 313}$

$\begin{array}{l} c) \frac{311}{256} > 1 > \frac{199}{203} \\ d) \frac{30}{235} = \frac{6}{47} > \frac{6}{48} = \frac{8}{64} > \frac{8}{63} = \frac{168}{1323} \\ e) \frac{19}{60} < \frac{20}{60} = \frac{30}{90} < \frac{31}{90} \\ f) \frac{15}{23} > \frac{14}{23} = \frac{70}{115} > \frac{70}{117} \end{array}$

Câu 10:

So sánh hai phân số bằng cách dùng số trung gian:
$\begin{array}{l} a) \frac{5}{- 17} v à \frac{2}{7}; \\ b) \frac{41}{- 73} v à \frac{- 67}{- 33}; \\ c) \frac{23}{21} v à \frac{21}{23}; \\ d) \frac{19}{26} v à \frac{21}{25}; \\ e) \frac{19}{40} v à \frac{41}{80}; \\ f) \frac{9}{23} v à \frac{34}{97}; \end{array}$

Xem đáp án »

$\begin{array}{l} a) \frac{5}{- 17} < \frac{2}{7}; \\ b) \frac{41}{- 73} < \frac{- 67}{- 33}; \\ c) \frac{23}{21} > \frac{21}{23} \\ d) \frac{19}{26} < \frac{21}{25}; \\ e) \frac{19}{40} < \frac{41}{80}; \\ f) \frac{9}{23} > \frac{34}{97} \end{array}$

Câu 11:

a) Cho phân số $\frac{a}{b} (a, b \in ℕ, b \neq 0)$ .Giả sử $\frac{a}{b}$ <1 và $m \in ℕ, m \neq 0$ . Chứng tỏ rằng $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ .
b) Áp dụng so sánh: $\frac{437}{564} v à \frac{446}{573}$ .

Xem đáp án »

a) Thực hiện quy đồng $\frac{a}{b} = \frac{a (b + m)}{b (b + m)} = \frac{a b + a m}{b^{2} + b m};$

$\frac{a + m}{b + m} = \frac{b (a + m)}{b (b + m)} = \frac{a b + b m}{b^{2} + b m} .$ Vì $\frac{a}{b}$ < 1=> a < b => ab +am < ab + bm

Từ đó thu được $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + m}{b + m}$

b) $\frac{437}{564} < \frac{437 + 9}{564 + 9} = \frac{446}{573} .$

Câu 12:

Áp dụng so sánh: $\frac{237}{142} v à \frac{246}{151}$

Xem đáp án »

$\frac{237}{142} < \frac{237 + 9}{142 + 9} = \frac{246}{151} .$

Câu 13:

So sánh:
$a) \frac{510}{714} v à \frac{1717}{3535}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{- 292929}{333333} v à \frac{- 16665}{17776};$

Xem đáp án »

a) $\frac{510}{714} = \frac{5}{7} > \frac{1717}{3535} = \frac{17}{35} .$

b) $\frac{- 292929}{333333} = \frac{- 29}{33} > \frac{- 29}{32} > \frac{- 30}{32} = \frac{- 15}{16} = \frac{- 16665}{17776} .$

Câu 14:

So sánh:
$a) \frac{1734}{2346} v à \frac{1919}{2323}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{- 15151515}{23232323} v à \frac{- 188887}{211109};$

Xem đáp án »

a) $\frac{1734}{2346} = \frac{17}{23} < \frac{19}{23} = \frac{1919}{2323}$

b) $\frac{- 15151515}{23232323} = \frac{- 15}{23} > \frac{- 188887}{211109} = \frac{- 17}{19} .$

Câu 15:

So sánh:
$\begin{array}{l} a) A = \frac{98^{99} + 1}{98^{89} + 1} v à B = \frac{98^{98} + 1}{98^{88} + 1}; \\ b) C = \frac{100^{2008} + 1}{100^{2018} + 1} v à D = \frac{100^{2007} + 1}{100^{2017} + 1}; \end{array}$

Xem đáp án »

a) Do $A = \frac{98^{99} + 1}{98^{89} + 1} > 1$ nên

$A = \frac{98^{99} + 1}{98^{89} + 1} > \frac{98^{99} + 1 + 97}{98^{89} + 1 + 97} = \frac{98 (98^{98} + 1)}{98 (98^{88} + 1)} = \frac{98^{98} + 1}{98^{88} + 1} = B$

Vậy A > B

b) Do C = $\frac{100^{2008} + 1}{100^{2018} + 1}$ < 1 nên

C= $\frac{100^{2008} + 1}{100^{2018} + 1} > \frac{100^{2008} + 1 + 99}{100^{2018} + 1 + 99} = \frac{100 (100^{2007} + 1)}{100 (100^{2017} + 1)} = \frac{100^{2007} + 1}{100^{2017} + 1} = D$

Vậy C > D.

Câu 16:

So sánh:
$\begin{array}{l} a) A = \frac{17^{18} + 1}{17^{19} + 1} v à B = \frac{17^{17} + 1}{17^{18} + 1}; \\ b) C = \frac{100^{100} + 1}{100^{90} + 1} v à D = \frac{100^{99} + 1}{100^{89} + 1}; \end{array}$

Xem đáp án »

a) A < B

b) C > D

Câu 17:

Điền số thích hợp vào chỗ trống
$\begin{array}{l} a) \frac{5}{5} < \frac{...}{5} < \frac{...}{5} < \frac{8}{5}; \\ b) \frac{- 15}{15} < \frac{...}{15} < \frac{...}{15} < \frac{- 12}{15} \end{array}$

Xem đáp án »

$\begin{array}{l} a) \frac{5}{5} < \frac{6}{5} < \frac{7}{5} < \frac{8}{5}; \\ b) \frac{- 15}{15} < \frac{- 14}{15} < \frac{- 13}{15} < \frac{- 12}{15} \end{array}$