Bài tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/35

Trong mặt phẳng \(Oxy\), hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) đồ thị là \(\left( C \right)\). Giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right)\) có tọa độ là

Lời giải

Tiệm cận ngang là: \(y = 1\).

Tiệm cận đứng là: là \(x = - 1\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) là \(\left( { - 1;1} \right)\).

Trả lời: \(\left( { - 1;1} \right)\)

Câu 2/35

Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{3x - 7}}{{x + 2}}\] là

Lời giải

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 3\] tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là \[y = 3\]

\[\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = + \infty \end{array} \right\} \Rightarrow \]Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là \[x = - 2\]

Suy ra: tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là \[I\left( { - 2;\,3} \right)\].

Trả lời: \[\left( { - 2;\,3} \right)\].

Câu 3/35

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng

Lời giải

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\).

Trả lời: \(x = - 2\).

Câu 4/35

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{2}{{x - 1}} = + \infty \] nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0\]nên đồ thị nhận đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang.

Trả lời: 2

Câu 5/35

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị đã cho bằng

Lời giải

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3\)có hai tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty \)có một tiệm cận đứng.

Vậy tổng cộng có ba tiệm cận.

Câu 6/35

Đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{3x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{3}{x}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trả lời:\(y = \frac{{x + 1}}{{3x - 3}}\)

Câu 7/35

Đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?

Lời giải

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}\).

Trả lời: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Câu 8/35

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{{3x - 5}}{{4x - 8}}\] là

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x - 5}}{{4x - 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3 - \frac{5}{x}}}{{4 - \frac{8}{x}}} = \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \) Đường \[y = \frac{3}{4}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trả lời:\[y = \frac{3}{4}\].

Câu 9/35