Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày

Ta có: y = (120 – x)(x – 40) = –x² + 160x – 4800

Xét hàm số y = –x² + 160x – 4800 có a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

\(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 160}}{{2.( - 1)}} = 80\)

Vậy cửa hàng bán một đôi giày giá 80 đô thì thu được nhiều lãi nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Giả sử parabol có phương trình: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A(100; 30) và có đỉnh C(0; 5). Đoạn AB chia làm 8 phần, mỗi phần 25 m.

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}30 = 10000a + 100b + c\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\5 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{400}}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5\)

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng

OC + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃

= \(5 + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right) = 78,75\)(m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 12 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy

Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v₀ = 12 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

\(y = \frac{{ - 9,8.{x^2}}}{{{{2.12}^2}.co{s^2}{{30}^o}}} + \tan {30^o}.x + 0,7 = - \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,7\)(với x ≥ 0)\(\)

Khi x = 4, ta có \(y = - \frac{{49}}{{1080}}{.4^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 + 0,7 \approx 2,283\)> 1,524

Như vậy, cầu đã vượt qua lưới. Điểm rơi của cầu là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình:

\( - \frac{{49}}{{1080}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 0,7 = 0\) ta được: x_1­ ≈ 13,84 và x₂ ≈ –1,11

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Chọn hệ trục Oth như hình

Tại t = 0 ta có: h = 1,2

Tại t = 1 ta có: h = 8,5

Tại t = 2 ta có: h = 6

Parabol có phương trình y = at² + bt + c (a ≠ 0)

Theo bài ta có: A(0; 1,2), B(1; 8,5), C(2; 6) thuộc parabol

Do đó, có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a = - 4,9\\b = 12,2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm có dạng y = –4,9t² + 12,2t + 1,2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình của parabol có dạng: y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Ta có: OB = CD : 2 – CB = (48 + 117) : 2 – 48 = 34,5 (m)

OC = CD : 2 = (48 + 117) : 2 = 82,5 (m)

Từ đó ta có điểm thuộc parabol là (34,5; 46,2)

⇒ a.34,5² + b.34,5 + c = 46,2

⇒ 1190,26a + 34,5b + c = 46,2 (1)

Ngoài ra, parabol còn cắt trục hoành tại hai điểm (–82,5; 0) và (82,5; 0) nên ta có:

a.(–82,5)² + b.(–82,5) + c = 0 \( \Rightarrow \)6806,25a – 82,5b + c = 0 (2)

a.82,5² + b.82,5 + c = 0 \( \Rightarrow \) 6806,25a + 82,5b + c = 0 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1190,26a + 34,5b + c = 46,2\\6806,25a - 82,5b + c = 0\\6806,25a + 82,5b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \approx - 0,008\\b = 0\\c \approx 56\end{array} \right.\)

Xét đỉnh parabol có hoành độ x = 0 và tung độ y = –0,008.0² + 56 = 56.

Khoảng cách từ vị trí nhảy đến mặt nước là: 1 + 56 + 43 = 100 (m)

Vậy độ dài dây an toàn cần thiết là: \(\frac{{100}}{3}\) ≈  33 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi A và B là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và cổng có chiều rộng d = 5 m nên:

AB = 5 và hoành độ của A và B lần lượt là \( - \frac{5}{2},\,\,\frac{5}{2}\).

Ta có: \(y = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 25}}{8}\)

Do đó, \(A\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{{ - 25}}{8}} \right)\) và \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{{ - 25}}{8}} \right)\).

Chiều cao của cổng chính là giá trị tuyệt đối tung độ của A và B hay h = \(\left| {\frac{{ - 25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\) (m).