Cho hai dãy số (x_n) với $x_n=\frac{\left(n+1\right)!}{2^n}$ và (y_n) với y_n = n + sin²(n + 1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trả lời:

Ta có:

u₁ = −2.1 = −2;

u₂ = (−1)².2.2 = 4;

u₃ = (−1)³2.3 = −6;

u₄ = (−1)⁴2.4 = 8

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

Ta có:

$u_1=\frac{1}{2}$

$u_2=u_1+2.2=\frac{1}{2}+4=\frac{1}{2}+2.2$

$u_3=u_2+2.3=\frac{1}{2}+4+6=\frac{1}{2}+2.\left(2+3\right)$

$u_4=u_3+2.4=\frac{1}{2}+4+6+8=\frac{1}{2}+2.\left(2+3+4\right)$

…..

Dự đoán số hạng tổng quát $u_n=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+n\right)\left(*\right),\forall n\ge 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy (∗) đúng với n = 2.

Giả sử (∗) đúng đến n = k ≥ 2 , tức là $u_k=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+k\right)$,

ta chứng minh (∗) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh 

$u_{k+1}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+k+1\right)$

Ta có:

$u_{k+1}=u_k+2\left(k+1\right)$

$u_{k+1}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{..}+k\right)+2\left(k+1\right)$

$u_{k+1}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{..}+k+k+1\right)$

Vậy (∗) đúng với mọi n ≥ 2.

Mặt khác ta có:

$1+2+\mathrm{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

$\iff 2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}-1$

Khi đó số hạng:

$u_{50}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+50\right)$

$\Rightarrow u_{50}=\frac{1}{2}+2\left(\frac{50.51}{2}-1\right)$

$\Rightarrow u_{50}=\mathrm{2548,5}$

Đáp án cần chọn là: B