Cho dãy số (un) xác định bởi u1=0 và un+1=un+4n+3, ∀n≥1 Biết limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n=a2019+bcvới a, b, c là các số nguyên dương và b<2019. Tính giá trị S=a+b−c. A.S=−1 B.S=0...

Ta có u2=u1+4.1+3u3=u2+4.2+3...un=un−1+4.n−1+3 Cộng vế theo vế và rút gọn ta được un=u1+4.1+2+...+n−1+3n−1=4nn−12+3n−1=2n2+n−3 với mọi n≥1 Suy ra u2n=22n2+2n−3u22n=222n2+22n−3...u22018n=222018n2+22018n−3 Và u4n=24n2+4n−3u42n=242n2+42n−3...u42018n=242018n2+42018n−3 Do đó limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n =lim2+1n−3n2+2.42+4n−3n2+...+2420182+42018n−3n22+1n−3n2+2.22+2n−3n2+...+2220182+22018n−3n2 =21+4+42+...+4201821+2+22+...+22018=11−420191−41−220191−2=1342019−122019−1=22019+13 Vì 22019>2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên a=2b=1c=3 Vậy S=a+b−c=0 Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi:

16/07/2022 661

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_{1} = 0 v à u_{n + 1} = u_{n} + 4 n + 3, \forall n \geq 1$ Biết $\lim \frac{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{4 n}} + \sqrt{u_{4^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{4^{2018} n}}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{2 n}} + \sqrt{u_{2^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{2^{2018} n}}} = \frac{a^{2019} + b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và $b < 2019$ . Tính giá trị $S = a + b - c$ .

A. $S = - 1$

B. $S = 0$

C. $S = 2017$

D. $S = 2018$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giới hạn của hàm số !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có

$\begin{array}{l} u_{2} = u_{1} + 4.1 + 3 \\ u_{3} = u_{2} + 4.2 + 3 \\ ... \\ u_{n} = u_{n - 1} + 4. (n - 1) + 3 \end{array}$

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

$u_{n} = u_{1} + 4. (1 + 2 + ... + n - 1) + 3 (n - 1) = 4 \frac{n (n - 1)}{2} + 3 (n - 1) = 2 n^{2} + n - 3$ với mọi $n \geq 1$

Suy ra

$\begin{array}{l} u_{2 n} = 2 {(2 n)}^{2} + 2 n - 3 \\ u_{2^{2} n} = 2 {(2^{2} n)}^{2} + 2^{2} n - 3 \\ ... \\ u_{2^{2018} n} = 2 {(2^{2018} n)}^{2} + 2^{2018} n - 3 \end{array}$

Và

$\begin{array}{l} u_{4 n} = 2 {(4 n)}^{2} + 4 n - 3 \\ u_{4^{2} n} = 2 {(4^{2} n)}^{2} + 4^{2} n - 3 \\ ... \\ u_{4^{2018} n} = 2 {(4^{2018} n)}^{2} + 4^{2018} n - 3 \end{array}$

Do đó $\lim \frac{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{4 n}} + \sqrt{u_{4^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{4^{2018} n}}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{2 n}} + \sqrt{u_{2^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{2^{2018} n}}}$

$= \lim \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{{2.4}^{2} + \frac{4}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + ... + \sqrt{2 {(4^{2018})}^{2} + \frac{4^{2018}}{n} - \frac{3}{n^{2}}}}{\sqrt{2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{{2.2}^{2} + \frac{2}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + ... + \sqrt{2 {(2^{2018})}^{2} + \frac{2^{2018}}{n} - \frac{3}{n^{2}}}}$

$= \frac{\sqrt{2} (1 + 4 + 4^{2} + ... + 4^{2018})}{\sqrt{2} (1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{2018})} = \frac{1 \frac{1 - 4^{2019}}{1 - 4}}{\frac{1 - 2^{2019}}{1 - 2}} = \frac{1}{3} \frac{4^{2019} - 1}{2^{2019} - 1} = \frac{2^{2019} + 1}{3}$

Vì $2^{2019} > 2019$ cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên $\{\begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = 3 \end{matrix}$

Vậy $S = a + b - c = 0$

Đáp án cần chọn là: B

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - 1} = \frac{- 1}{2} (a, b \in ℝ) .$ Tổng $S = a^{2} + b^{2}$ bằng

A. $S = 13$

B. $S = 9$

C. $S = 4$

D. $S = 1$

Lời giải

Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại $x = 1$ nên biểu thức tử nhận $x = 1$ làm nghiệm, hay $1 + a + b = 0$

Áp dụng vào giả thiết, được

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x - 1 - a}{x^{2} - 1} = \frac{- 1}{2} \Leftrightarrow \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1 + a)}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x \to 1} \frac{x + 1 + a}{x + 1} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2 + a}{2} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = - 3$

Suy ra b = 2.

Vậy $a^{2} + b^{2} = 13$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2

Cho f(x) là đa thức thỏa mãn $\underset{x \to 2}{\underset{⏟}{l i m}} \frac{f (x) - 20}{x - 2} = 10$ . Tính $T = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{6 f (x) + 5} - 5}{x^{2} + x - 6}$

A. $T = \frac{12}{25}$

B. $T = \frac{4}{25}$

C. $T = \frac{4}{15}$

D. $T = \frac{6}{25}$

Lời giải

Cách 1 (Đặc biệt hóa)

Chọn $f (x) = 10 x$ , ta có $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 20}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{10 x - 20}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{10 (x - 2)}{x - 2} = 10$

Lúc đó

$T = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{6 f (x) + 5} - 5}{x^{2} + x - 6} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{60 x + 5} - 5}{x^{2} + x - 6} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{60 x + 5} - 5}{(x - 2) (x + 3)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{60 x + 5 - 5^{3}}{(x - 2) (x + 3) ({\sqrt[3]{60 x + 5}}^{2} + 5 \sqrt[3]{60 x + 5} + 25)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{60 (x - 2)}{(x - 2) (x + 3) ({\sqrt[3]{60 x + 5}}^{2} + 5 \sqrt[3]{60 x + 5} + 25)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{60}{(x + 3) ({\sqrt[3]{60 x + 5}}^{2} + 5 \sqrt[3]{60 x + 5} + 25)} = \frac{4}{25}$

Cách 2:

Chọn $f (x) = 10 x$ ta có $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 20}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{10 x - 20}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{10 (x - 2)}{x - 2} = 10$

Sử dụng CASIO (chức năng CALC), nhập hàm cần tính giới hạn

Màn hình hiển thị

Media VietJack

Thay giá trị $x = 1, 9999999$ vào

Màn hình hiển thị

Media VietJack

Thay tiếp giá trị $x = 2, 0000001$ vào

Màn hình hiển thị

Media VietJack

Cách 3:

Theo giả thiết có $\lim_{x \to 2} (f (x) - 20) = 0$ hay $\lim_{x \to 2} f (x) = 20$ (*)

Khi đó

$T = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{6 f (x) + 5} - 5}{x^{2} + x - 6} = \lim_{x \to 2} \frac{6 f (x) + 5 - 125}{(x^{2} + x - 6) [{(\sqrt[3]{6 f (x) + 5})}^{2} + 5 (\sqrt[3]{6 f (x) + 5}) + 25]}$

$T = \lim_{x \to 2} \frac{6 [f (x) - 20]}{(x - 2) (x + 3) [{(\sqrt[3]{6 f (x) + 5})}^{2} + 5 (\sqrt[3]{6 f (x) + 5}) + 25]}$

$\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - 20}{x - 2} = 10$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} f (x) = 20 \\ \Rightarrow \lim_{x \to 2} \frac{6}{(x - 3) . [{(\sqrt[3]{6 f (x) + 5})}^{2} + 5 (\sqrt[3]{6 f (x) + 5}) + 25]} \\ = \frac{6}{(2 + 3) . [{(\sqrt[3]{6.20 + 5})}^{2} + 5. (\sqrt[3]{6.20 + 5}) + 25]} = \frac{6}{5.75} \end{array}$

$T = \frac{10.6}{5.75} = \frac{4}{25}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Cho đa thức f(x) thỏa mãn $\frac{f (x) - 2}{x - 1} = 12$ . Tính $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 2}{(x^{2} - 1) [f (x) + 1]}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Biết $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 1} - (a x + b)) = 0$ . Tính $a - 4 b$ ta được

A.3

B.5

C.-1

D.2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Biết $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7 x + 1}}{\sqrt{2} (x - 1)} = \frac{a \sqrt{2}}{b} + c$ với a, b, c $\in ℤ$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

A.5

B.37

C.13

D.51

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ là:

A.0

B. $+ \infty$

C. $\sqrt{2} - 1$

D. $- \infty$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{2 x}{\sqrt{1 - x}} k h i x < 1 \\ \sqrt{3 x^{2} + 1} k h i x \geq 1 \end{matrix}$ . Khi đó $\lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ là:

A. $+ \infty$

B.2

C.4

D. $- \infty$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học