Câu hỏi:

29/07/2022 137

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ . Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ $\vec{O M}$ là

A. $\sqrt{110}$

B. $3 \sqrt{10}$

C. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{\sqrt{110}}{5}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu và đường thẳng !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

+) Mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.

+) Tìm I: $3 \vec{I A} + 2 \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow 6 \vec{I A} + 2 \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{I A} = - \frac{2 \vec{A B} + \vec{A C}}{6}$

$A (0; 1; 1), B (3; 0; - 1), C (0; 21; - 19)$

$\Rightarrow \vec{I A} (- x_{I}; 1 - y_{I}; 1 - z_{I}), \vec{A B} (3; - 1; - 2), \vec{A C} (0; 20; - 20)$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} - x_{I} = - \frac{2.3 + 0}{6} \\ 1 - y_{I} = - \frac{2. (- 1) + 20}{6} \\ 1 - z_{I} = - \frac{2. (- 2) + (- 20)}{6} \end{matrix} \Rightarrow I (1; 4; - 3)$

+) Ta có:

$\begin{array}{l} 3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2} \\ = 3 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} \\ = 6 {\vec{M I}}^{2} + 3 {\vec{I A}}^{2} + 2 {\vec{I B}}^{2} + {\vec{I C}}^{2} + 2 \vec{M I} . (3 \vec{I A} + 2 \vec{I B} + \vec{I C}) \\ = 6 M I^{2} + 3 I A^{2} + 2 I B^{2} + I C^{2} + 2. \vec{M I} . \vec{0} \\ = 6 M I^{2} + 3 I A^{2} + 2 I B^{2} + I C^{2} \end{array}$

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mặt cầu (S).

$\vec{J I} = (0; 3; - 4)$ ⇒ Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng

Mặt khác $M \in (S) \Rightarrow {(1 - 1)}^{2} + {(1 - (1 + 3 t))}^{2} + {(1 - (1 - 4 t))}^{2} = 1$

$\Leftrightarrow t^{2} = \frac{1}{25} \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \frac{1}{5} \\ t = - \frac{1}{5} (L) \end{matrix} \Rightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow M (1; \frac{8}{5}; \frac{1}{5}) \Rightarrow O M = \frac{3 \sqrt{10}}{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{2}$ . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2 \sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

A.(1;−2;2),I(5;2;10)

B.I(1;−2;2),I(0;3;0)

C.I(5;2;10),I(0;−3;0)

D.I(1;−2;2),I(−1;2;−2)

Xem đáp án » 29/07/2022 5,282

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

Xem đáp án » 29/07/2022 478

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

A. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$

B. $x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 20$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 14$

Xem đáp án » 29/07/2022 457

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2}$ . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

A.R=4

B.R=2

C. $R = \pm 1$

D.R=1

Xem đáp án » 29/07/2022 428

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50$ .Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$

B.Trục Ox

C.Trục Oy

D.Trục Oz

Xem đáp án » 29/07/2022 391

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $Δ$ là:

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + 9 t \\ y = 1 + 9 t \\ z = 3 + 8 t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 2 - 5 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{matrix}$

D. $\{\begin{matrix} x = 2 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 - 3 t \end{matrix}$

Xem đáp án » 29/07/2022 325

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 9$

B. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 64$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25$

Xem đáp án » 29/07/2022 282

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2}$ . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50$ .Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu S:x−12+y−12+z−12=1. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng 3MA2+2MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ OM→ là

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng Δ:x1=y+31=z2 . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 22 và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng d:x−11=y2=z−21 là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−1−1=y−21=z+12, điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+(y+1)2+z2=R2. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x−12+y+22+z−32=50.Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng P:2x+2y−z−3=0 và mặt cầu S:x−32+y−22+z−52=36. Gọi Δ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của Δ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2}$ . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50$ .Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.