Câu hỏi:

29/07/2022 343

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : x - m y + z + 6 m + 3 = 0$ và $(β) : m x + y - m z + 3 m - 8 = 0$ ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $Δ$ . Gọi $Δ'$ là hình chiếu của $Δ$ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng $Δ'$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức $P = 10 a^{2} - b^{2} + 3 c^{2}$ .

A. $P = 56$

B. $P = 9$

C. $P = 41$

D. $P = 73$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu và đường thẳng !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của $Δ$ theo m.

Mặt phẳng $(α) : x - m y + z + 6 m - 3 z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

$\vec{n_{1}} = (1; - m; 1)$ và mặt phẳng $(β) : m x + y - m z + 3 m - 8 = (α) \cap (β)$

$\vec{n_{1}} = (1; - m; 1)$ và mặt phẳng $(β) : m x + y - m z$ có một vectơ pháp tuyến là

$\vec{n_{2}} = (m; 1; - m) .$ Ta có $M (- 3 m + \frac{4}{m} - 3; 0; - 3 m - \frac{4}{m}) \in Δ = (α) \cap (β)$

Do đó $Δ$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}] = (m^{2} - 1; 2 m; m^{2} + 1)$

Bước 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $Δ$ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm c.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $Δ$ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}; \vec{k}] = (2 m; 1 - m^{2}; 0)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $2 m x + (1 - m^{2}) y + 6 m^{2} + 6 m - 8 = 0$

Vì $I (a; b; c) \in (O x y)$ nên I(a;b;0).

Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu $(S) \Rightarrow d (I; (P)) = R$

Tìm a và b

Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu $(S) \Rightarrow d (I; (P)) = R$

$\Leftrightarrow \frac{|2 m a + (1 - m^{2}) b + 6 m^{2} + 6 m - 8|}{\sqrt{4 m^{2} + {(1 - m^{2})}^{2}}} = R > 0$

$\Leftrightarrow \frac{|2 m (a + 3) + (6 - b) m^{2} + b - 8|}{m^{2} + 1} = R > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 m (a + 3) + (6 - b) m^{2} + b - 8 = R (m^{2} + 1) \\ 2 m (a + 3) + (6 - b) m^{2} + b - 8 = - R (m^{2} + 1) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} 2 (a + 3) = 0 \\ 6 - b = R \\ b - 8 = R \\ R > 0 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} 2 (a + 3) = 0 \\ 6 - b = - R \\ b - 8 = - R \\ R > 0 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} a = - 3 = 0 \\ 6 - b = b - 8 \\ - R = 6 - b < 0 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} a = - 3 \\ 6 - b = b - 8 \\ R = 6 - b > 0 \end{matrix} \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a = - 3 \\ b = 7 \end{matrix}$

Vậy I(−3;7;0), do đó $P = 10 a^{2} - b^{2} + 3 c^{2} = 41$

Chọn đáp án C

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{2}$ . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2 \sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

A.(1;−2;2),I(5;2;10)

B.I(1;−2;2),I(0;3;0)

C.I(5;2;10),I(0;−3;0)

D.I(1;−2;2),I(−1;2;−2)

Lời giải

Tâm I thuộc đường thẳng d nên $I (t; - 3 + t; 2 t)$

Phương trình mặt phẳng $(Oxz) : y = 0$

Ta có bán kính mặt cầu $I M = 2 \sqrt{2}$ mặt cầu cắt mặt phẳng (Oxz) theo đường tròn có bán kính $H M = 2$ suy ra $d (I, (O x z)) = I H = \sqrt{I M^{2} - H M^{2}} = \sqrt{8 - 4} = 2$
Ta có $| - 3 + t | = 2 \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 3 + t = 2 \\ - 3 + t = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 5 \Rightarrow I (5; 2; 10) \\ t = 1 \Rightarrow I (1; - 2; 2) \end{matrix}$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 \end{matrix}$ và $d' : \{\begin{matrix} x = t' \\ y = 3 - t' \\ z = 0 \end{matrix}$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 2$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 4$

Lời giải

Lấy $A \in d \Rightarrow A (2 a; a; 4)$ và $B \in d^{'} \Rightarrow B (b; 3 - b; 0)$

Ta có: $\vec{A B} = (b - 2 a; 3 - a - b; - 4)$

AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} \vec{A B} . \vec{u_{d}} = 0 \\ \vec{A B} . \vec{u_{d'}} = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2. (b - 2 a) + 1. (3 - a - b) + 0. (- 4) = 0 \\ 1. (b - 2 a) - 1. (3 - a - b) + 0. (- 4) = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 5 a + b + 3 = 0 \\ - a + 2 b - 3 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \end{matrix} \end{array}$

Suy ra $A (2; 1; 4), B (2; 1; 0)$ và $\vec{A B} = (0; 0; - 4)$

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′

Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính $R = \frac{A B}{2}$

Ta có I(2;1;2) và $R = \frac{A B}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Vậy ta có ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

A. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$

B. $x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 20$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 14$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ . Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ $\vec{O M}$ là

A. $\sqrt{110}$

B. $3 \sqrt{10}$

C. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{\sqrt{110}}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $Δ$ là:

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + 9 t \\ y = 1 + 9 t \\ z = 3 + 8 t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 2 - 5 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{matrix}$

D. $\{\begin{matrix} x = 2 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 - 3 t \end{matrix}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là: