Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a2. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2 nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABC...

Gọi I là điểm thỏa mãn IA→+IB→+IC→+ID→+IS→=0→ Ta có: Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2Q=MI→+IA→2+MI→+IB→2+MI→+IC→2+MI→+ID→2+MI→+IS→2Q=5MI2+2MI→IA→+IB→+IC→+ID→+IS→+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2Q=5MI2+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2 Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên IA2+IB2+IC2+ID2+IS2 không đổi, do đó Qmin⇔MImin Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay MI⊥SCD Gọi O=AC∩BD ta có SO⊥ABCD và: IA→+IB→+IC→+ID→+IS→=0→⇔IA→+IC→+IB→+ID→+IS→=0→⇔2IO→+2IO→+IS→=0⇔4IO→=IS→ Gọi E là trung điểm của CD. Ta có: CD⊥OECD⊥SO⇒CD⊥(SOE)⇒(SOE)⊥(SCD)⇒IM⊂SOE Trong (SOE) kẻ OH∥IM⇒OH⊥SETa có: SE=SC2−CE2=2a2−a24=a72SO=SE2−OE2=7a24−a24=a62SMSH=SISO=45SHSE=SO2SE2=6a24:7a24=67⇒SMSE=SMSH.SHSE=45.67=2435⇒MESE=1135 Ta có: SM∩ABCD=E⇒dM;ABCDdS;ABCD=MESE=1135 Vậy V2V1=VM.ACDVS.ABCD=13.dM;ABCD.SACD13.dS;ABCD.SABCD=1135.12=1170 Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi:

02/08/2022 1,261

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng $Q = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} + M S^{2}$ nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và $V_{2}$ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ bằng

A. $\frac{11}{140}$

B. $\frac{22}{35}$

C. $\frac{11}{70}$

D. $\frac{11}{35}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối chóp !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi I là điểm thỏa mãn $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} + \vec{I S} = \vec{0}$

Ta có:

Q = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} + M S^{2}

Q = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I D})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I S})}^{2}

Q = 5 M I^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} + \vec{I S}) + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + I S^{2}

Q = 5 M I^{2} + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + I S^{2}

Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên $I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + I S^{2}$ không đổi, do đó $Q_{\min} \Leftrightarrow M I_{\min}$

Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay $M I ⊥ (S C D)$

Gọi $O = A C \cap B D$ ta có $S O ⊥ (A B C D)$ và:

\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} + \vec{I S} = \vec{0}

\Leftrightarrow (\vec{I A} + \vec{I C}) + (\vec{I B} + \vec{I D}) + \vec{I S} = \vec{0}

\Leftrightarrow 2 \vec{I O} + 2 \vec{I O} + \vec{I S} = 0 \Leftrightarrow 4 \vec{I O} = \vec{I S}

Gọi E là trung điểm của CD. Ta có:

\{\begin{matrix} C D ⊥ O E \\ C D ⊥ S O \end{matrix} \Rightarrow C D ⊥ (S O E) \Rightarrow (S O E) ⊥ (S C D) \Rightarrow I M \subset (S O E)

Trong (SOE) kẻ $O H ∥ I M \Rightarrow O H ⊥ S E$
Ta có:

\begin{array}{l} S E = \sqrt{S C^{2} - C E^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{7}}{2} \\ S O = \sqrt{S E^{2} - O E^{2}} = \sqrt{\frac{7 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} \\ \frac{S M}{S H} = \frac{S I}{S O} = \frac{4}{5} \\ \frac{S H}{S E} = \frac{S O^{2}}{S E^{2}} = \frac{6 a^{2}}{4} : \frac{7 a^{2}}{4} = \frac{6}{7} \\ \Rightarrow \frac{S M}{S E} = \frac{S M}{S H} . \frac{S H}{S E} = \frac{4}{5} . \frac{6}{7} = \frac{24}{35} \Rightarrow \frac{M E}{S E} = \frac{11}{35} \end{array}

Ta có: $S M \cap (A B C D) = E \Rightarrow \frac{d (M; (A B C D))}{d (S; (A B C D))} = \frac{M E}{S E} = \frac{11}{35}$

Vậy $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{M . A C D}}{V_{S . A B C D}} = \frac{\frac{1}{3} . d (M; (A B C D)) . S_{A C D}}{\frac{1}{3} . d (S; (A B C D)) . S_{A B C D}} = \frac{11}{35} . \frac{1}{2} = \frac{11}{70}$

Đáp án cần chọn là: C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{32 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{13}}{3} c m^{3}$

C. $\frac{32 \sqrt{11}}{3} c m^{3}$

D. $4 c m^{3}$

Lời giải

Gọi $O = A C \cap B D$ .Vì chóp S.ABCD đều nên $S O ⊥ (A B C D)$

Vì chóp S.ABCD đều nên ABCD là hình vuông

$\Rightarrow S_{A B C D} = A B^{2} = 16 \Rightarrow A B = 4 (c m) = A D$

Gọi E là trung điểm của AB⇒OE là đường trung bình của tam giác ABD
$\Rightarrow O E / / A D \Rightarrow O E ⊥ A B$ và $O E = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} .4 = 2 (c m)$

$\begin{matrix} O E ⊥ A B \\ S O ⊥ A B (S O ⊥ (A B C D)) \end{matrix}\} \Rightarrow A B ⊥ (S O E) \Rightarrow A B ⊥ S E$

$\Rightarrow S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} S E . A B = 8 \sqrt{3} \Rightarrow S E = \frac{16 \sqrt{3}}{A B} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} (c m)$

$S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ O E \Rightarrow Δ S O E$ vuông tại O

$\Rightarrow S O = \sqrt{S E^{2} - O E^{2}} = \sqrt{48 - 4} = \sqrt{44} = 2 \sqrt{11} (c m)$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 \sqrt{11} .16 = \frac{32 \sqrt{11}}{3} (c m^{3})$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3}}{27}$

D. $\frac{a^{3}}{9}$

Lời giải

Media VietJack

Ta có:

$\begin{matrix} A C ⊥ A B \\ A C ⊥ S B (S B ⊥ (A B C)) \end{matrix}\} \Rightarrow A C ⊥ (S A B) \Rightarrow A C ⊥ S A$

⇒SA là hình chiếu vuông góc của SC trên

(S A B) \Rightarrow \hat{(S C; (S A B))} = \hat{(S C; S A)} = \hat{C S A} = 30^{0}

\begin{matrix} (S A C) \cap (A B C) = A C \\ (S A C) \supset S A ⊥ A C \\ (A B C) \supset A B ⊥ A C \end{matrix}\} \Rightarrow ((S A \hat{C); (A} B C)) = (S \hat{A; A} B) = \hat{S A B} = 60^{0}

$S B ⊥ (A B C) \Rightarrow S B ⊥ A B \Rightarrow Δ S A B$ vuông tại B

$\Rightarrow A B = S B . \cot 60^{0} = a . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S A = \sqrt{S B^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{3}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông SAC ta có: $A C = S A . \tan 30^{0} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 a}{3}$

S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S B . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $4 a^{3} \sqrt{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

A. $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $r = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABC có $A B = A C = 4, B C = 2, S A = 4 \sqrt{3}, \hat{S A B} = \hat{S A C} = 30^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $V_{S . A B C} = 8$

B. $V_{S . A B C} = 6$

C. $V_{S . A B C} = 4$

D. $V_{S . A B C} = 12$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là 16cm2, diện tích một mặt bên là 83cm2. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB=a, SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a3. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích V=a336. Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=4,BC=2,SA=43,SAB^=SAC^=300. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Cho hình chóp S.ABC có $A B = A C = 4, B C = 2, S A = 4 \sqrt{3}, \hat{S A B} = \hat{S A C} = 30^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.