Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a2. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2 nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABC...

Gọi I là điểm thỏa mãn IA→+IB→+IC→+ID→+IS→=0→ Ta có: Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2Q=MI→+IA→2+MI→+IB→2+MI→+IC→2+MI→+ID→2+MI→+IS→2Q=5MI2+2MI→IA→+IB→+IC→+ID→+IS→+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2Q=5MI2+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2 Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên IA2+IB2+IC2+ID2+IS2 không đổi, do đó Qmin⇔MImin Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay MI⊥SCD Gọi O=AC∩BD ta có SO⊥ABCD và: IA→+IB→+IC→+ID→+IS→=0→⇔IA→+IC→+IB→+ID→+IS→=0→⇔2IO→+2IO→+IS→=0⇔4IO→=IS→ Gọi E là trung điểm của CD. Ta có: CD⊥OECD⊥SO⇒CD⊥(SOE)⇒(SOE)⊥(SCD)⇒IM⊂SOE Trong (SOE) kẻ OH∥IM⇒OH⊥SETa có: SE=SC2−CE2=2a2−a24=a72SO=SE2−OE2=7a24−a24=a62SMSH=SISO=45SHSE=SO2SE2=6a24:7a24=67⇒SMSE=SMSH.SHSE=45.67=2435⇒MESE=1135 Ta có: SM∩ABCD=E⇒dM;ABCDdS;ABCD=MESE=1135 Vậy V2V1=VM.ACDVS.ABCD=13.dM;ABCD.SACD13.dS;ABCD.SABCD=1135.12=1170 Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi:

02/08/2022 1,325

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng $Q = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} + M S^{2}$ nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và $V_{2}$ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ bằng

A. $\frac{11}{140}$

B. $\frac{22}{35}$

C. $\frac{11}{70}$

D. $\frac{11}{35}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối chóp !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi I là điểm thỏa mãn $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} + \vec{I S} = \vec{0}$

Ta có:

Q = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} + M S^{2}

Q = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I D})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I S})}^{2}

Q = 5 M I^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} + \vec{I S}) + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + I S^{2}

Q = 5 M I^{2} + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + I S^{2}

Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên $I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} + I S^{2}$ không đổi, do đó $Q_{\min} \Leftrightarrow M I_{\min}$

Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay $M I ⊥ (S C D)$

Gọi $O = A C \cap B D$ ta có $S O ⊥ (A B C D)$ và:

\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} + \vec{I S} = \vec{0}

\Leftrightarrow (\vec{I A} + \vec{I C}) + (\vec{I B} + \vec{I D}) + \vec{I S} = \vec{0}

\Leftrightarrow 2 \vec{I O} + 2 \vec{I O} + \vec{I S} = 0 \Leftrightarrow 4 \vec{I O} = \vec{I S}

Gọi E là trung điểm của CD. Ta có:

\{\begin{matrix} C D ⊥ O E \\ C D ⊥ S O \end{matrix} \Rightarrow C D ⊥ (S O E) \Rightarrow (S O E) ⊥ (S C D) \Rightarrow I M \subset (S O E)

Trong (SOE) kẻ $O H ∥ I M \Rightarrow O H ⊥ S E$
Ta có:

\begin{array}{l} S E = \sqrt{S C^{2} - C E^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{7}}{2} \\ S O = \sqrt{S E^{2} - O E^{2}} = \sqrt{\frac{7 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} \\ \frac{S M}{S H} = \frac{S I}{S O} = \frac{4}{5} \\ \frac{S H}{S E} = \frac{S O^{2}}{S E^{2}} = \frac{6 a^{2}}{4} : \frac{7 a^{2}}{4} = \frac{6}{7} \\ \Rightarrow \frac{S M}{S E} = \frac{S M}{S H} . \frac{S H}{S E} = \frac{4}{5} . \frac{6}{7} = \frac{24}{35} \Rightarrow \frac{M E}{S E} = \frac{11}{35} \end{array}

Ta có: $S M \cap (A B C D) = E \Rightarrow \frac{d (M; (A B C D))}{d (S; (A B C D))} = \frac{M E}{S E} = \frac{11}{35}$

Vậy $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{M . A C D}}{V_{S . A B C D}} = \frac{\frac{1}{3} . d (M; (A B C D)) . S_{A C D}}{\frac{1}{3} . d (S; (A B C D)) . S_{A B C D}} = \frac{11}{35} . \frac{1}{2} = \frac{11}{70}$

Đáp án cần chọn là: C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{32 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{13}}{3} c m^{3}$

C. $\frac{32 \sqrt{11}}{3} c m^{3}$

D. $4 c m^{3}$

Lời giải

Gọi $O = A C \cap B D$ .Vì chóp S.ABCD đều nên $S O ⊥ (A B C D)$

Vì chóp S.ABCD đều nên ABCD là hình vuông

$\Rightarrow S_{A B C D} = A B^{2} = 16 \Rightarrow A B = 4 (c m) = A D$

Gọi E là trung điểm của AB⇒OE là đường trung bình của tam giác ABD
$\Rightarrow O E / / A D \Rightarrow O E ⊥ A B$ và $O E = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} .4 = 2 (c m)$

$\begin{matrix} O E ⊥ A B \\ S O ⊥ A B (S O ⊥ (A B C D)) \end{matrix}\} \Rightarrow A B ⊥ (S O E) \Rightarrow A B ⊥ S E$

$\Rightarrow S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} S E . A B = 8 \sqrt{3} \Rightarrow S E = \frac{16 \sqrt{3}}{A B} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} (c m)$

$S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ O E \Rightarrow Δ S O E$ vuông tại O

$\Rightarrow S O = \sqrt{S E^{2} - O E^{2}} = \sqrt{48 - 4} = \sqrt{44} = 2 \sqrt{11} (c m)$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 \sqrt{11} .16 = \frac{32 \sqrt{11}}{3} (c m^{3})$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3}}{27}$

D. $\frac{a^{3}}{9}$

Lời giải

Media VietJack

Ta có:

$\begin{matrix} A C ⊥ A B \\ A C ⊥ S B (S B ⊥ (A B C)) \end{matrix}\} \Rightarrow A C ⊥ (S A B) \Rightarrow A C ⊥ S A$

⇒SA là hình chiếu vuông góc của SC trên

(S A B) \Rightarrow \hat{(S C; (S A B))} = \hat{(S C; S A)} = \hat{C S A} = 30^{0}

\begin{matrix} (S A C) \cap (A B C) = A C \\ (S A C) \supset S A ⊥ A C \\ (A B C) \supset A B ⊥ A C \end{matrix}\} \Rightarrow ((S A \hat{C); (A} B C)) = (S \hat{A; A} B) = \hat{S A B} = 60^{0}

$S B ⊥ (A B C) \Rightarrow S B ⊥ A B \Rightarrow Δ S A B$ vuông tại B

$\Rightarrow A B = S B . \cot 60^{0} = a . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S A = \sqrt{S B^{2} + A B^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{3}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông SAC ta có: $A C = S A . \tan 30^{0} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 a}{3}$

S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S B . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $4 a^{3} \sqrt{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABC có $A B = A C = 4, B C = 2, S A = 4 \sqrt{3}, \hat{S A B} = \hat{S A C} = 30^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $V_{S . A B C} = 8$

B. $V_{S . A B C} = 6$

C. $V_{S . A B C} = 4$

D. $V_{S . A B C} = 12$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

A. $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $r = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử