Bài tập Vận dụng tích phân vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)

Vận tốc của một vật chuyển động là v(t) = 3t² + 5 (m/s). Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost (m/s²), biết rằng tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm t = π (s).

Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 24 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật v(t) = −4t + 24 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng

Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật và có gia tốc a = 0,3 m/s². Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t giây được cho bởi \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;0 \le t \le 2\\2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;2 < t \le 20\\12 - 0,5t\;khi\;20 < t \le 24\end{array} \right.\). Tính quãng đường chuyển động của thang máy.

</>

Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc v_A(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc v_B(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) = t² + 10t (m/s) với t là thời gian tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0004x + 9,3. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là

Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72 km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72 km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 – 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72 km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?

Một chiếc xe ô tô điện đang chạy với vận tốc biến thiên theo thời gian t (giây) được mô hình hóa bởi hàm số v(t) = 3t² + 2t (m/s). Quãng đường mà chiếc xe ô tô này di chuyển được trong 2 giây đầu tiên kể từ thời điểm t = 0 là

Trong một môi trường nuôi cấy lý tưởng, tốc độ sinh trưởng của một quần thể vi khuẩn sau t giờ được xác định bởi hàm số P'(t) = \(100{e^{0,5t}}\) (cá thể/giờ). Số lượng vi khuẩn tăng thêm trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = \(2\ln 2\) giờ là

Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có chi phí biên (nghìn đồng/sản phẩm) để sản xuất x sản phẩm là C'(x) = 2x + 50. Sự gia tăng trong tổng chi phí khi mức sản xuất tăng từ 10 sản phẩm lên 20 sản phẩm là

Một đoàn tàu đang chạy với vận tốc 16 m/s thì người lái tàu bắt đầu đạp phanh. Kể từ thời điểm đó (t = 0), tàu chuyển động chậm dần với gia tốc a(t) = −2t (m/s²). Quãng đường tàu đi được từ lúc bắt đầu phanh cho đến khi dừng hẳn là

Một máy bơm được sử dụng để bơm nước vào một bể chứa. Tốc độ bơm tại thời điểm t (phút) được mô hình hóa bởi hàm số v(t) = \(\frac{{100}}{{t + 1}}\) (lít/phút). Thời gian cần thiết để máy bơm bơm được đúng \(100\ln 5\) lít nước vào bể kể từ lúc bắt đầu (t = 0) là

Hai ô tô A và B cùng bắt đầu di chuyển trên một đường thẳng. Ô tô A di chuyển đều với vận tốc không đổi 20 m/s. Ô tô B bắt đầu từ trạng thái đứng yên và tăng tốc với gia tốc a(t) = 4t (m/s²). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Tốc độ phát triển chiều cao của một loài cây được cho bởi công thức h'(t) = \(0,2 + \frac{{0,1}}{{\sqrt {t + 1} }}\) (mét/năm), trong đó t là số năm tính từ lúc cây được đem trồng. Biết rằng lúc mới trồng (t = 0), cây cao 1 mét. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Tốc độ sinh lợi nhuận của một dự án kinh doanh sau t năm hoạt động được đánh giá bởi hàm số P'(t) = −2t + 14 (tỷ đồng/năm). Biết rằng tại thời điểm ban đầu t = 0, dự án chưa có lợi nhuận (P(0) = 0). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Máy xúc đang đổ cát để tạo thành một đống cát với tốc độ xả cát phụ thuộc vào thời gian là V'(t) = \(10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)\) (m³/giờ), quá trình này diễn ra liên tục từ lúc t = 0 đến t = 6 giờ. Giả sử lượng cát ban đầu bằng 0. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Trong một đoạn mạch điện xoay chiều, cường độ dòng điện tức thời được xác định bởi i(t) = \(2\sin \left( {100\pi t} \right)\) (Ampe). Công suất tỏa nhiệt tức thời trên một điện trở R = \(10\Omega \) là P(t) = \(R \cdot {i^2}(t)\) (Watt). Nhiệt lượng Q tỏa ra trên điện trở trong một khoảng thời gian được tính bằng tích phân của công suất theo thời gian. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: