Bài tập Tính xác suất có điều kiện bằng sơ đồ hình cây lớp 12 (có lời giải)

4.6 658 lượt thi 20 câu hỏi

Câu 1/20

Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là $20\% $, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là $30\% $. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là 0,7 .

Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ô có dấu ? ở sơ đồ hình cây sau:

$Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là $20\% $, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là $30\% $. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là 0,7 . Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ô có dấu ? ở sơ đồ hình cây sau: (ảnh 1)$

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố "Ngày thứ Bảy trời nắng" và $B$ là biến cố "Ngày Chủ nhật trời mưa".

Ta có $P(A) = 0,7;P(B\mid A) = 0,2;P(B\mid \bar A) = 0,3$.

Do đó $P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,3;P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,8;P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0,7$.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ nhật là

$P(AB) = P(A)P(B\mid A) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14.$

Tương tự, ta có

$P(A\bar B) = P(A)P(\bar B\mid A) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56;$

$P(\bar AB) = P(\bar A)P(B\mid \bar A) = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09;$

$P(\bar A\bar B) = P(\bar A)P(\bar B\mid \bar A) = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21.$

Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo sơ đồ hình cây như sau:

$Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là $20\% $, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là $30\% $. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là 0,7 . Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ô có dấu ? ở sơ đồ hình cây sau: (ảnh 2)$

Câu 2/20

Ở một sân bay, người ta sử dụng một loại máy soi tự động phát hiện hàng cấm trong hành lí kí gửi. Máy phát chuông cảnh báo với $95\% $ các kiện hành lí có chứa hàng cấm và $2\% $ các kiện hành lí không chứa hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là $0,1\% $.

Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

M: "Kiện hành lí có chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo";

$N$ : "Kiện hành lí không chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo".

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố "Kiện hành lí có chứa hàng cấm" và $B$ là biến cố "Máy phát chuông cảnh báo". Ta có

$P(B\mid A) = 0,95;P(B\mid \bar A) = 0,02;P(A) = 0,001.$

Do đó $P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,999;P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,05;P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0,98$.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

$Ở một sân bay, người ta sử dụng một loại máy soi tự động phát hiện hàng cấm trong hành lí kí gửi. Máy phát chuông cảnh báo với $95\% $ các kiện hành lí có chứa hàng cấm và $2\% $ các kiện hành lí không chứa hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là $0,1\% $. Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố: M:$

Do $M = AB$ nên $P(M) = P(AB) = 0,00095$.

Do $N = \bar AB$ nên $P(N) = P(\bar AB) = 0,01998$.

Câu 3/20

Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

A: "Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ";

B: "Hai viên bi lấy ra có cùng màu".

Lời giải

Gọi $M$ là biến cố "Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh",

$N$ là biến cố "Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ".

Ta có $P(M) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5} = 0,4;P(N\mid M) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5} = 0,4$

Suy ra $\quad P(\bar M) = 1 - P(M) = 0,6;\quad P(N\mid \bar M) = \frac{5}{{10}} = 0,5$;

$P(\bar N\mid M) = \frac{6}{{10}} = 0,6;$ $P(\bar N\mid \bar M) = \frac{5}{{10}} = 0,5$

Ta có sơ đồ cây

Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố: A:

Dựa vào sơ đồ cây ta có: $P(A) = 0,16;P(B) = 0,24 + 0,3 = 0,54$

Câu 4/20

Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là $85\% $ đối với sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và $70\% $ đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác.

Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giỏi là $30\% $. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

C: "Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành";

$D$ : "Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành".

Lời giải

Gọi A là biến cố "Sinh viên đó tốt nghiệp loại giỏi",

B là biến cố "Sinh viên đó tìm được việc làm đúng chuyên ngành".

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,3;P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,7;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,85;P(B\mid \bar A) = 0,7$.

Suy ra $P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,15;P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0,3$

Ta có sơ đồ cây

$Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là $85\% $ đối với sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và $70\% $ đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác. Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giỏi là $30\% $. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố: C:$

Dựa vào sơ đồ cây, ta có: $P(C) = 0,255;P(D) = 0,49$.

Câu 5/20

Mỗi bạn học sinh trong lớp của Minh lựa chọn học một trong hai ngoại ngữ là tiếng Anh hoặc tiếng Nhật. Xác suất chọn tiếng Anh của mỗi bạn học sinh nữ là 0,6 và của mỗi bạn học sinh nam là 0,7 . Lớp của Minh có 25 bạn nữ và 20 bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên một bạn trong lớp.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

$A$: "Bạn được chọn là nam và học tiếng Nhật";

$B$ : "Bạn được chọn là nữ và học tiếng Anh".

Lời giải

Gọi M là biến cố "Bạn được chọn là nữ";

N là biến cố "Bạn được chọn học tiếng Anh".

Ta có $P(M) = \frac{{C_{\frac{1}{1}}^{C_{45}^1}}}{{C_{45}^1}}\frac{5}{9};P(N\mid M) = 0,6;P(N\mid \bar M) = 0,7$.

Suy ra $P(\bar M) = 1 - P(M) = \frac{4}{9};P(\bar N\mid M) = 1 - P(N\mid M) = 0,4$; $P(\bar N\mid \bar M) = 1 - P(N\mid \bar M) = 0,3$.

Ta có sơ đồ hình cây

Bài 3 trang 75 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Dựa vào sơ đồ hình cây, ta có: $P(A) = \frac{2}{{15}};P(B) = \frac{1}{3}$.

Câu 6/20

Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như Hình vẽ. Khi xảy ra sự cố điện, UPS bị hỏng với xác suất 0,02 . Nếu UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện, máy tính sẽ bị hòng với xác suất 0,1 ; ngược lại, nếu UPS không bị hòng, máy tính sẽ không bị hỏng.

Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều không bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.

Lời giải

Gọi A là biến cố "UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện".

B là biến cố "Máy tính bị hỏng".

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,02;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,1;P(\bar B\mid \bar A) = 1$.

Suy ra $P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,9$.

Ta có sơ đồ cây như sau:

Bài 4 trang 75 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Dựa vào sơ đồ cây ta có:

$P(\overline {AB} ) = 0,98$.

Câu 7/20

Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như Hình vẽ. Khi xảy ra sự cố điện, UPS bị hỏng với xác suất 0,02 . Nếu UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện, máy tính sẽ bị hòng với xác suất 0,1 ; ngược lại, nếu UPS không bị hòng, máy tính sẽ không bị hỏng.

Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.

Lời giải

Gọi A là biến cố "UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện".

B là biến cố "Máy tính bị hỏng".

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,02;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,1;P(\bar B\mid \bar A) = 1$.

Suy ra $P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,9$.

Ta có sơ đồ cây như sau:

Bài 4 trang 75 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Dựa vào sơ đồ cây ta có:

$P(AB) = 0,002$.

Câu 8/20

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại.

Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố: "Bạn Sơn lấy được bút bi đen";

$B$ là biến cố: "Bạn Tùng lấy được bút bi xanh".

Ta cần tính $P(AB)$.

Vì $n(A) = 5$ nên $P(A) = \frac{5}{{12}}$.

Nếu $A$ xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh. Vậy $P(B\mid A) = \frac{7}{{11}}$.

Theo công thức nhân xác suất: $P(AB) = P(A) \cdot P(B\mid A) = \frac{5}{{12}} \cdot \frac{7}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$.

Một phương pháp mô tả trực quan lời giải trên là dùng sơ đồ hình cây.

Trên nhánh OĐ và OX tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen và bút xanh.

Trên nhánh ĐĐ, ĐX tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen, bút xanh với điều kiện đã lấy được bút đen.

Trên nhánh tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen, bút xanh với điều kiện đã lấy được bút xanh.

Vậy xác suất cần tính là: $\frac{5}{{12}} \cdot \frac{7}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$.

Câu 9/20