Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h (h > R). Tìm hh để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.

A. $h = R \sqrt{3}$

B. $h = R \sqrt{2}$

C. $h = \frac{4 R}{3}$

D. $h = \frac{2 R}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt nón, khối nón !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Ta có: Gọi bán kính (C) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và :

$\begin{array}{l} O I = \sqrt{R^{2} - r^{2}} \to h = \sqrt{R^{2} - r^{2}} + R \\ V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π r^{2} (\sqrt{R^{2} - r^{2}} + R) \end{array}$

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

f (r) = r^{2} (\sqrt{R^{2} - r^{2}} + R)

= r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}} + r^{2} R

\Rightarrow f' (r) = (r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}} + r^{2} R)'

= (r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}})' + (r^{2} R)'

= (r^{2})' \sqrt{R^{2} - r^{2}} + r^{2} (\sqrt{R^{2} - r^{2}})' + 2 r R

= 2 r \sqrt{R^{2} - r^{2}} + r^{2} . \frac{- 2 r}{2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}} + 2 r R

= 2 r \sqrt{R^{2} - r^{2}} - \frac{r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} + 2 r R

= r (2 \sqrt{R^{2} - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} + 2 R)

\begin{array}{l} f^{'} (r) = 0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}} + 2 R - \frac{r^{2}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 (R^{2} - r^{2}) - r^{2} + 2 R \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 0 \end{array}

\Leftrightarrow {(2 R^{2} - 3 r^{2})}^{2} = {(2 R \sqrt{R^{2} - r^{2}})}^{2}

\Leftrightarrow r^{2} = \frac{8}{9} R^{2} \to h = \frac{4 R}{3} .

Đáp án cần chọn là: C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường cao h và độ dài đường sinh l là:

A. $S_{t p} = π r l + π r^{2}$

B. $S_{x q} = π r l + 2 π r^{2}$

C. $S_{x q} = π r h + π r^{2}$

D. $S_{x q} = 2 π r h$

Lời giải

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: $S_{t p} = π r l + π r^{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2

Một cái phễu có dạng hình nón có chiều cao 15(cm). Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao ban đầu của cái phễu (hình 1). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên (hình 2) thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn).

A.0,577(cm)

B.0,216(cm)

C.0,325(cm)

D.0,188(cm)

Lời giải

Media VietJack

Gọi $r_{1}$ là bán kính đáy phễu, $r_{2}$ là bán kính đáy phần nước, $h_{1}$ và $h_{2}$ là chiều cao phễu và chiều cao cột nước ta có $\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \Rightarrow r_{2} = \frac{1}{3} r_{1}$