Cho hình lập phương \(ABCD.{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}\). Góc giữa \(AC\) và \(D{A}_{1}\) bằng

Cho hình hộp \(ABCD⋅{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,{A}^{'}{D}^{'},{B}^{'}{C}^{'}\) (tham khảo hình vẽ). Tỳ số thể tích giữa khối chóp \(MNP{D}^{'}\) và khối hộp \(ABCD⋅{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(2;-1;2),B(0;1;0)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là

Tìm \(a\) đề các hàm số \(f(x)=\left\{ x+2akhix<0{x}^{2}+x+1khix≥0 \right.\) liên tục tại \(x=0\) ?

A. \(\frac{1}{2}\).

Số nghiệm của phương trình \({log}_{2}⁡(x-4)={log}_{2}⁡\left. {x}^{2}-5x+4 \right.\) là

1 .

Cho hình lăng trụ đứng \({ABCA}^{'}{B}^{'}{C}^{;}\)có đáy là tam giác đều cạnh \(a,{A}^{'}B\) tạo với mặt phẳng đáy góc \({60}^{∘}\). Thể tích khối lăng trụ \({ABCA}^{'}{B}^{'}{C}^{'}\) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(0;0;-1),B(-1;1;0),C(1;0;1)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho \(3M{A}^{2}+2M{B}^{2}-M{C}^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}{x}^{3}+2{x}^{2}+mx+1\) có hai điểm cực trị là

\([4;+∞)\).