Tìm \(a\) đề các hàm số \(f(x)=\left\{ x+2akhix<0{x}^{2}+x+1khix≥0 \right.\) liên tục tại \(x=0\) ?

A. \(\frac{1}{2}\).

Ta có \({y}^{'}={x}^{2}+4x+m\).

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \({y}^{'}=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(⇔\left\{ 1>0{Δ}^{'}=4-m>0⇔m<4 \right.\)

Đáp án đúng là C

Mở rộng:

Hàm bậc 3 có 2 Cực trị: \(y'=0\) phải có 2 nghiệm phân biệt \(({∆}_{y'}>0)\)

Ta có \({y}^{'}={x}^{3}\left[ 9m{x}^{5}+6\left. {m}^{2}-3m+2 \right.{x}^{2}+4\left. 2{m}^{3}-{m}^{2}-m \right. \right]\).

Đặt \(f(x)=9m{x}^{5}+6\left. {m}^{2}-3m+2 \right.{x}^{2}+4\left. 2{m}^{3}-{m}^{2}-m \right.\). Nếu \(f(0)≠0\), thì do \(f(x)\) liên tục nên có một lân cận \({V}_{δ}(0)=(-δ;δ)\) sao cho \(f(x)>0,∀x∈{V}_{δ}(0),x≠0\) hoặc \(f(x)<0,∀x∈{V}_{δ}(0),x≠0\)

Khi đó, \({y}^{'}\) nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên \({V}_{δ}(0)\) bỏ đi điểm 0 . Vì thế, hàm số đã cho không thể đồng biến trên \(R\).

Nếu \(f(0)=0\), thì \(m=0\) hoặc \(m=1\) hoặc \(m=-\frac{1}{2}\).

Với \(m=0\), thì \({y}^{'}=12{x}^{5}<0,∀x<0\). Trường hợp này hàm số không đồng biến trên \(R\).

Với \(m=1\), thì \({y}^{'}=9{x}^{8}≥0,∀x∈R\) nên hàm số đồng biến trên \(R\).

Với \(m=-\frac{1}{2}\), thì \({y}^{'}\) có hệ số cao nhất là số âm, suy ra \({lim}_{x→+∞}{y}^{'}=-∞\). Trường hợp này hàm số cũng không đồng biến trên \(R\).

Vậy ta chọn đáp án A

Đáp án đúng là A

Mở rộng:

Đối với các bài toán "lớn" (bậc 7, bậc 9) và yêu cầu \(R\) (thường trong trắc nghiệm), thường có xu hướng:

Đạo hàm \({y}^{'}\)phải có nhân tử chung \({x}^{k}\)

Tất cả các hệ số còn lại của \(y'\) phải triệt tiêu (bằng 0), hoặc \({y}^{'}\)phải về dạng đơn giản như:

+ \(A.{x}^{chẵn}( luôn ≥0)\)

+ \(A.{x}^{lẻ}( đa thức không âm, TH này ít gặp và phức tạp hơn)\)

Trong bài toán vừa rồi, trường hợp xảy ra là tất cả các hệ số của lũy thừa lẻ (như \({x}^{5},{x}^{3}\)) trong \(y'\) đều triệt tiêu khi \(m=1\)